5.2.3 诱导公式（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

5．2.3　诱导公式 第 1 课时　诱导公式一～四 (强基课—梯度进阶式教学)　 课时目标 1．借助圆的对称性理解诱导公式一～四的推导过程． 2．识记诱导公式，理解和掌握公式的内涵和结构特征． 3．会初步利用诱导公式进行求值、化简与证明．　　 诱导公式一、二、三、四 公式一 sin(α＋2kπ)＝sin_α，cos(α＋2kπ)＝cos_α， tan(α＋2kπ)＝tan α其中k∈Z 公式二 sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α， tan(－α)＝－tan_α 公式三 sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan_α 公式四 sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α， tan(π－α)＝－tan_α 微点助解 (1)公式一～四中的角α可以是任意角，如sin[π＋(2x－3)]＝－sin(2x－3)． (2)判断函数值的符号时，虽然把角α当作锐角，但实际上，对于正弦与余弦的诱导公式，角α可以为任意角；对于正切的诱导公式，α的终边不能落在y轴上，即α≠kπ＋(k∈Z)． (3)诱导公式既可以用弧度制表示，也可以用角度制表示． [基点训练] 1.判断正误： (1)利用诱导公式二可以把第三象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数．(　 ) (2)利用诱导公式三可以把负角的三角函数化为正角的三角函数．(　 ) (3)公式tan(α－π)＝tan α中，α＝不成立．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．cos(π＋x)等于(　 ) A．cos x B．－cos x C．sin x D．－sin x 解析：选B　由诱导公式，得cos(π＋x)＝－cos x. 3．化简cos(3π－α)＝(　 ) A．cos α B．－cos α C．sin α D．－sin α 解析：选B　cos(3π－α)＝cos[2π＋(π－α)]＝cos(π－α)＝－cos α. 4．计算：sin 210°＝(　 ) A． B．－ C． D．－ 解析：选D　sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－，故选D． 题型(一)　给角求值问题 [典例]　求下列各三角函数值． (1)cosπ；(2)sin；(3)tan(－855°)． [解]　(1)cosπ＝cos＝cosπ ＝cos＝cos＝. (2)sin＝－sin ＝－sin ＝－sin＝－. (3)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1. [方法技巧] 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 “负化正” 用公式一或二来转化 “大化小” 用公式一将角化为0°到360°间的角 “小化锐” 用公式三或四将大于90°的角转化为锐角 “锐求值” 得到锐角的三角函数后求值 [针对训练] 求值：cos(－120°)·sin(－150°)＋tan 855°. 解：原式＝cos 120°·(－sin 150°)＋tan 855° ＝－cos(180°－60°)·sin(180°－30°)＋tan(135°＋2×360°)＝cos 60°·sin 30°＋tan 135° ＝cos 60°·sin 30°＋tan(180°－45°) ＝cos 60°·sin 30°－tan 45°＝×－1＝－. 题型(二)　给值求值问题 [典例]　已知cos＝，求下列各式的值． (1)cos；(2)cos. [解]　(1)cos＝cos ＝－cos＝－. (2)cos＝cos ＝cos＝cos＝. [变式拓展] 若本例的条件不变，求cos－sin2α－的值． 解：因为cos＝cos＝－cos＝－，sin2＝sin2＝1－cos2＝1－2＝， 所以cos－sin2＝－－＝－. [方法技巧]　解决条件求值问题的两个技巧 [针对训练] 已知＝3，求tan(5π－α)的值． 解：∵ ＝ ＝＝3， ∴sin α＝－. ∴当α为第三象限角时，cos α＝－，tan α＝； 当α为第四象限角时，cos α＝，tan α＝－. ∴tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝±. 题型(三)　化简求值问题 [典例]　设k为整数，化简： . [解]　法一：分类讨论　当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)， 则原式＝＝＝＝－1； 当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1. 综上，＝－1. 法二：配角法　由于kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ， 故cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)，si