4.4.2 计算函数零点的二分法（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

4.4.2　计算函数零点的二分法(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.了解二分法的原理及其适用条件.　　　　　　 2.掌握二分法的实施步骤. 3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想. 1.二分法的定义 如图，工人首先从线路的中点C查起，如果CB段正常，就选择CA的中点D测试；如果DA段正常，就选择DC的中点E继续测试……像检修线路所用的这种方法称作二分法. 2.用二分法求函数零点近似值的一般操作方法 设函数y＝f(x)定义在区间D上，其图象是一条连续曲线.求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它与零点的误差不超过正数，即使得|x－x0|≤ε. (1)在D内取一个闭区间[a，b]⊆D，使f(a)与f(b)异号，即f(a)·f(b)<0； (2)取区间[a，b]的中点m＝(a＋b)； (3)如果|m－a|<ε，则取m为f(x)的零点近似值，计算终止； (4)计算f(m)，如果f(m)＝0，则m就是f(x)的零点，计算终止； (5)f(m)与f(a)同号则令a＝m，否则b＝m，再执行(2). 微点助解 (1)二分法的求解原理是函数零点存在定理. (2)二分法的基本思想：逼近思想和算法思想. (3)用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的零点为变号零点时适用，对函数的零点为不变号零点时不适用.如函数f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解. (4)用二分法求函数的零点时，要根据函数的性质尽可能地找到含有零点的较小的区间，这样可以减小计算量. [基点训练] 1.判断正误： (1)二分法所求出的方程的解都是近似解.(　 ) (2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点.(　 ) (3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内.(　 ) (4)只有求函数的零点时才用到二分法.(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2.用二分法求函数f(x)＝log2x－的零点时，初始区间可选为(　 ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 答案：C 3.下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是(　 ) 答案：A 题型(一)　二分法概念的理解 [典例]　(多选)下列函数中，有零点但不能用二分法求零点的近似值的是(　 ) A.y＝＋1 B.y＝ C.y＝x2＋4x＋8 D.y＝|x| [解析]　对于选项C，y＝x2＋4x＋8＝(x＋4)2≥0，故不能用二分法求零点的近似值.对于选项D，y＝|x|≥0，故不能用二分法求零点的近似值.易知选项A、B有零点，且可用二分法求零点的近似值.故选C、D. [答案]　CD [方法技巧] 运用二分法求函数的零点应具备的条件 (1)函数图象在零点附近连续不断. (2)在该零点左右函数值异号. 只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点.　　 [针对训练] 1.已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　 ) A.4,4　　　　　　　 B.3,4 C.5,4 D.4,3 解析：选D　图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右两侧的函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3. 2.用“二分法”求f(x)＝x2－6的零点时，初始区间可取(　 ) A.(0,1)　　　　　　　　　　　 B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 　　　　　　　　　　 解析：选C　因为f(0)＝02－6＝－6，f(1)＝12－6＝－5，f(2)＝22－6＝－2，f(3)＝32－6＝3，f(4)＝42－6＝10，所以f(2)f(3)＜0.故零点在区间(2,3)内. 题型(二)　用二分法求方程的近似解(或函数零点的近似解) [典例]　用二分法求函数f(x)＝x3＋2x－1在区间(0,1)内的零点的近似值(误差不超过0.1). [解]　由题意，函数f(x)＝x3＋2x－1在(0,1)上单调递增，则函数f(x)＝x3＋2x－1在(0,1)上有唯一零点，列表如下： 次数 a，－ b，＋ m＝ f(m)的近似值 区间长b－a 1 0 1 0.5 0.125 1 2 0 0.5 0.25 －0.484 0.5 3 0.25 0.5 0.375 －0.197 0.25 4 0.375 0.5 0.437 5 －0.041 0.125 可得函数y＝x3＋2x－1在(0,1)内的零点的近似值为0.437 5，误差不超过0.1. [方法技巧] 利用二分法求方程的近似解的步骤 (1)构造函数，利用函数零点存在定理确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n＋1)，n∈Z. (2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M. (3)区间M内的任一