4.4.1 方程的根与函数的零点（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

课时目标 4.4.1　方程的根与函数的零点 (强基课—梯度进阶式教学) 1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系. 2.会借助函数零点存在的性质判断函数的零点所在的大致区间. 3.能借助函数单调性及图象判断零点个数. 1 2 目 录 课前环节 预知教材·自主落实主干基础 课堂环节 题点研究·迁移应用融会贯通 2 1.函数零点、方程、函数图象之间的关系 函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系： 课前环节 预知教材·自主落实主干基础 y轴 f(x)＝0 微点助解 (1)函数的零点不是一个点，而是一个数，当自变量取该数时，其函数值等于零. (2)不是所有的函数都有零点，如函数y＝1，y＝x2＋1就没有零点. (3)若函数y＝f(x)有零点，则零点一定在函数的定义域内. (4)求零点可转化为求对应方程的解. 不能用公式求解的方程，可以与函数联系起来，利用函数的图象和性质找零点，然后得到方程的解. 2.函数零点存在的性质 一般地，当x从a到b逐渐增加时，如果f(x)连续变化且有__________，则存在点x0∈(a，b)，使得___________. 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]内单调递增或单调递减，方程f(x)＝0在(a，b)内恰有_____个根. f(a)·f(b)<0 f(x0)＝0 一 (2)函数零点存在的性质只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数.如图①②，虽然都有f(a)·f(b)＜0，但图①中函数在区间(a，b)内有4个零点，图②中函数在区间(a，b)内仅有1个零点. (3)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，不一定有f(a)·f(b)＜0.例如：函数f(x)＝|x－1|在区间(0,2)内有1个零点，而f(0)·f(2)＝1＞0. (4)注意基本性质中对问题研究不考虑闭区间[a，b]的端点处，而是考虑开区间(a，b)内有无零点问题，若f(a)＝0或f(b)＝0，则a或b也是函数零点，但不是零点性质研究的内容. [基点训练] 1.判断正误： (1)若f(a)·f(b)>0，则f(x)在[a，b]内无零点.(　 ) (2)若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点.(　 ) (3)若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)·f(b)<0.(　 ) (4)若函数f(x)满足f(a)·f(b)<0，则函数在区间[a，b]上至少有一个零点.(　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　 (4)× 2.下列选项中的图象对应的函数没有零点的是(　 ) 答案：D 3.函数f(x)＝3x－4的零点所在区间为(　 ) A.(0,1) B.(－1,0) C.(2,3) D.(1,2) 答案：D　 4.已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表： x 3 4 5 6 7 8 f(x) 123.56 21.45 －7.82 －11.57 53.76 126.49 则函数f(x)在区间[3,8]内的零点至少有______个. 答案：2 [解]　(1)令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2. 所以函数的零点为－2. 课堂环节　 题点研究·迁移应用融会贯通 (2)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3； 当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2. [变式拓展] 1.将本例(1)的题设改为若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，求a，b的值. 2.将本例(1)的题设改为已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点. 解：由已知得f(3)＝0即3a－b＝0，即b＝3a. 故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1). [方法技巧]　探究函数零点的两种求法 代数法 求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点 几何法 与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点 答案：CD　 (2)若x0是方程ex＋x＝2的解，则x0属于区间(　 ) A.(－2，－1)　　　　　　　　 　B.(－1,0) C.(0,1) D.(1,2) [解析]　(1)∵f(1)＝－2＜0，f(2)＝ln 2－1＜0，又f(x)在(0，＋∞)上为增函数， ∴在(1,2)内f(x)无零点.故排除A. ∴f(2)f(3)＜0. ∴f(x)在(2,3)内有一个零点. (2)构造函数f(x)＝ex＋x－2，由f(0)＝－1，f(1)＝e－1>0，显然函数f(x)是单调递增函数，有且只有一个零点，则函数f(x)的零点在区间(0,1)内，所以方程ex＋x＝2的解