第4章 幂函数、指数函数和对数函数 板块综合融会 指、对数函数图象与性质的综合（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

[建构知识体系] 板块综合融会　指、对数函数图象与性质的综合 (习题课—小结评价式教学) [融通学科素养] 1.浸润的核心素养 (1)通过指数、对数运算性质的学习与运用，重点提升数学运算素养； (2)通过作指数函数、对数函数的图象以及简单图象的平移翻折变换，提升直观想象和逻辑推理素养. (3)通过对指数函数、对数函数的图象及性质的运用，重点提升数学运算和逻辑推理素养. 2.渗透的数学思想 (1)涉及数形结合思想的题目类型有知式选图，图象变换和指数函数、对数函数图象的应用.函数图象形象地展示了函数的性质，为研究函数的性质提供了形象的直观性，它是探求解题路径，获得问题结果的重要工具. (2)常见的分类讨论有两种：一是当指数函数、对数函数的底数为字母参数时，要确定它的单调性需要讨论；二是含参数的不等式、方程，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需要分类讨论. [答案]　C [方法技巧] 指数函数、对数函数图象既是直接考查的对象，又是数形结合求交点、最值、解不等式的工具，所以要能熟练画出这两类函数图象，并会进行平移、对称、翻折等变换.　　　 [针对训练] 答案：B　 融通点(二)　解不等式、比较大小问题 [典例2]　(1)已知a＝0.20.3,2b＝0.3，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系是(　 ) A.c＞b＞a B.c＞a＞b C.b＞a＞c D.a＞c＞b (2)设0<a<1，函数f(x)＝loga(a2x－2ax－2)，则使f(x)<0的x的取值范围是(　 ) A.(－∞，0) B.(0，＋∞) C.(－∞，loga3) D.(loga3，＋∞) [解析]　(1)因为y＝0.2x在R上单调递减，所以0＜0.20.3＜0.20＝1.所以0＜a＜1.又2b＝0.3且y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以b＝log20.3＜log21＝0.所以b＜0.又y＝log0.3x在(0，＋∞)上单调递减，所以log0.30.2＞log0.30.3＝1.所以c＞1.综上可知，c＞a＞b.故选B. (2)由已知得f(x)＝loga(a2x－2ax－2)<0＝loga1.又当0<a<1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，得a2x－2ax－2>1，即a2x－2ax－3>0，(ax－3)·(ax＋1)>0.因为ax＋1>0，所以ax>3.又0<a<1，所以x<loga3.故选C. [答案]　(1)B　(2)C [方法技巧] 方程、不等式的求解可利用单调性进行转化，对含参数的问题要进行分类讨论，同时还要注意变量本身的取值范围，以免出现增根；比较大小问题可直接利用单调性和中间值解决.　　 [针对训练] 2.若0<x<y<1，则(　 ) 答案：C　 3.已知函数f(x)＝lg(2x－b)(b为常数)，若x∈[1，＋∞)时，f(x)≥0恒成立，则b的取值范围是________. 解析：因为要使f(x)＝lg(2x－b)在x∈[1，＋∞)时，恒有f(x)≥0，所以有2x－b≥1在x∈[1，＋∞)时恒成立，即2x≥b＋1在x∈[1，＋∞)上恒成立.又因为指数函数g(x)＝2x在定义域上是增函数.所以只需2≥b＋1成立即可，解得b≤1. 答案：(－∞，1] (2)幂函数y＝xα(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一簇曲线(如图).设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xm，y＝xn 的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，则mn＝________. 所以g(x)的值域是{－1,0,1}，故D正确； 显然g(5)≠g(－5)，即g(x)不是偶函数，故A错误. [答案]　(1)BD　(2)1 [方法技巧] (1)研究函数的性质要树立定义域优先的原则. (2)换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题，该类问题中，常设u＝logax或u＝ax，转化为一元二次方程、二次函数等问题.要注意换元后u的取值范围.　　 [针对训练] (1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)判断并证明函数f(x)在其定义域上的单调性； (3)解关于m的不等式f(m－1)＋f(2m)＜0. 函数f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数. 证明如下： 函数f(x)在(－1,1)内为增函数. 证明如下： 设－1＜x1＜x2＜1，则 因为－1＜x1＜x2＜1，所以1＋x1＞0,1－x2＞0,1＋x2＞0,1－x1＞0， 又1－x1＋x2－x1x2＝(1－x1x2)＋(x2－x1)＞0，所以1＋x1－x2－x1x2＞0. 所以函数f(x)在(－1,1)内为增函数. (3)若选①，则由(1)和(2)知，函数f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数且为奇