7.4 事件的独立性（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修（第一册）（北师大版2019）

§4　事件的独立性(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义. 2.结合古典概型，利用独立性计算概率.　　 1.相互独立事件 相互独立事件 相关内容 定义 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作相互独立事件 概率公式 两个相互独立事件同时发生的概率公式为P(AB)＝P(A)P(B) 性质 若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立 2.相互独立事件与互斥事件的关系 A，B关系 概率记法 A，B互斥 A，B相互独立 至少一个发生 P(A＋B) P(A)＋P(B) 1－P()P() 同时发生 P(AB) 0 P(A)P(B) 都不发生 P( ) 1－[P(A) ＋P(B)] P()P() 恰有一个发生 P(A＋B) P(A)＋P(B) P(A)P()＋P()P(B) 至多一个发生 P(B＋A＋ ) 1 1－P(A)P(B) 微点助解 (1)事件A与B相互独立就是事件A的发生不影响事件B发生的概率，事件B的发生不影响事件A发生的概率. (2)相互独立事件同时发生的概率P(AB)＝P(A)P(B)，就是说，两个相互独立事件同时发生的概率等于这两个事件发生的概率的积. (3)由两个事件相互独立的定义，容易验证必然事件Ω，不可能事件∅都与任意事件相互独立，这是因为必然事件Ω总会发生，不会受任何事件是否发生的影响；同样，不可能事件∅总不会发生，也不受任何事件是否发生的影响.当然，它们也不影响其他事件是否发生. [基点训练] 1.甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.9，那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为________. 答案：0.72 2.如图，已知电路中有4个开关，分别记为甲、乙、丙、丁，每个开关闭合的概率都是，且是相互独立的. (1)要想让灯不亮，应如何操作开关的闭合？ (2)若求灯亮的概率，应如何选择公式？ 提示：(1)灯泡不亮包括三种情况：①四个开关都开；②甲开、乙闭、丙开、丁开；③甲闭、乙开、丙开、丁开. (2)可从对立事件方向讨论，应用交事件的独立性概率公式求得灯泡不亮的概率，再应用对立事件的概率公式求灯泡亮的概率. 题型(一)　相互独立事件的判断 [典例]　(多选)下列事件中，A，B是相互独立事件的是(　 ) A.一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面” B.袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球” C.掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为3或4” D.掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数” [解析]　把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后次序的影响，故A中A，B事件是相互独立事件；B中A，B事件是不放回地摸球，显然不是相互独立事件；对于C，A事件为出现1,3,5点，B事件为出现3,4点，则P(A)＝，P(B)＝，又事件AB为出现3点，从而P(AB)＝，所以P(AB)＝P(A)P(B)，事件A，B相互独立；D中两事件是互斥事件，不是相互独立事件. [答案]　AC [方法技巧] 判断两个事件相互独立的方法 (1)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的乘积，则事件A，B为相互独立事件.这是用定量计算的方法进行判断. 2直接法：看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响，没有影响就是相互独立事件，有影响就不是相互独立事件.这是从定性的角度进行判断. [针对训练] 一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1,2,3,4,5,6六个数字，投掷这枚骰子两次，A表示事件“第一次向上一面的数字是1”，B表示事件“第二次向上一面的数字是2”，C表示事件“两次向上一面的数字之和是7”，D表示事件“两次向上一面的数字之和是8”，则(　 ) A.C与D相互独立 B.A与D相互独立 C.B与D相互独立 D.A与C相互独立 解析：选D　由题意知P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝＝，P(D)＝， P(CD)＝0≠P(C)P(D)，所以C与D不相互独立，P(AD)＝0≠P(A)P(D)，所以A与D不相互独立，P(BD)＝≠P(B)P(D) ，所以B与D不相互独立， P(AC)＝＝P(A)P(C)，所以A与C相互独立. 题型(二)　相互独立事件的概率 [典例]　某大学的入学面试中有4道难度相当的题目，王宁答对每道题目的概率都是0.6，若每位面试者共有4次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第4次为止.用Y表示答对题目，用N表示没有答对题目，假设对抽到的不同题目能