7.2.2 古典概型的应用（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修（第一册）（北师大版2019）

2.2　古典概型的应用(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.进一步熟悉古典概型的特点，解决较复杂的古典概型概率问题. 2.掌握互斥事件的概率加法公式. 3.学会利用互斥事件和对立事件的概率公式解决与古典概型有关的问题. 互斥事件与对立事件的概率公式 概率公式 互斥事件的概率加法公式 在一个试验中，如果事件A与事件B是互斥事件，那么有P(A∪B)＝P(A)＋P(B) 两两互斥的多个事件的概率加法公式 如果事件A1，A2，…，An两两互斥，那么有P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An) 对立事件的概率公式 事件A和是对立事件，则P(A∪)＝P(A)＋P()＝1，即P()＝1－P(A) 微点助解 (1)设样本空间Ω包含有n个样本点，当事件A与事件B互斥时，A与B不含有相同的样本点，此时n(A∪B)＝n(A)＋n(B)，结合古典概型的概率公式即可得P(A∪B)＝＝P(A)＋P(B). (2)当一个事件的概率不易求解，但其对立事件的概率易求时，我们常利用对立事件的概率公式，使用间接法求解. (3)我们称如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)为概率的单调性.对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1.事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；事件发生的可能性越小，它的概率越接近0. (4)事件A与事件B不互斥时，求P(A∪B)的方法 ①利用集合中元素个数的关系求解. 由Venn图知，card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B). ②类比集合知识知，当A，B不互斥时，n(A∪B)＝n(A)＋n(B)－n(A∩B). ③设样本点总数为n(Ω)，则＝＋－，即P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B). [基点训练] 1.判断正误： (1)事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率.(　 ) (2)对于任意事件A，总有P(A)＋P()＝1.(　 ) (3)事件A1∪A2∪…∪An发生即事件A1，A2，…，An中至少有一个发生.(　 ) (4)若三个事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.(　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2.若A，B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，则P(B)等于(　 ) A.0.3 B.0.7 C.0.1 D.1 解析：选A　∵A，B是互斥事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5，∵P(A)＝0.2，∴P(B)＝0.5－0.2＝0.3. 3.掷一枚均匀的正六面体骰子，设A表示事件“出现3点”，B表示事件“出现偶数点”，则P(A∪B)＝__________. 解析：显然事件A与事件B互斥，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝. 答案： 题型(一)　概率模型的构建问题 [典例]　甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排，求甲站在乙的左边的概率. [解]　法一：利用树状图来列举样本点，如图所示. 由树状图可看出共有24个样本点.设事件A＝“甲站在乙的左边”，则A事件包含的样本点为(甲乙丙丁)，(甲乙丁丙)，(甲丙乙丁)，(甲丙丁乙)，(甲丁乙丙)，(甲丁丙乙)，(丙甲乙丁)，(丙甲丁乙)，(丙丁甲乙)，(丁甲乙丙)，(丁甲丙乙)，(丁丙甲乙)，共12个.所以甲站在乙的左边的概率为P＝＝. 法二：因为要计算“甲站在乙的左边的概率”，所以可以只考虑甲、乙两个人排队.所有样本点为(甲乙)，(乙甲)，共2个，事件“甲站在乙的左边”包含1个样本点，即(甲乙).所以甲站在乙的左边的概率为P＝. [变式拓展] 本例条件不变，求下列事件的概率： (1)甲在边上； (2)甲和乙都在边上； (3)甲和乙都不在边上. 解：由典例解析中的树状图可知，共有24个样本点. (1)甲在边上有12种情形：(甲乙丙丁)，(甲乙丁丙)，(甲丙乙丁)，(甲丙丁乙)，(甲丁乙丙)，(甲丁丙乙)，(乙丙丁甲)，(乙丁丙甲)，(丙乙丁甲)，(丙丁乙甲)，(丁乙丙甲)，(丁丙乙甲)，故甲在边上的概率为P＝＝. (2)甲和乙都在边上有4种情形：(甲丙丁乙)，(甲丁丙乙)，(乙丙丁甲)，(乙丁丙甲)，故甲和乙都在边上的概率为P＝＝. (3)甲和乙都不在边上有4种情形：(丙甲乙丁)，(丙乙甲丁)，(丁甲乙丙)，(丁乙甲丙)，故甲和乙都不在边上的概率为P＝＝. [方法技巧] 建立概率模型的方法 从不同的角度把握问题，进而转化为不同的古典概型，这是我们进行概率计算的重要思想. (1)当试验可能出现的结果的角度不同时，样本点的个数也可能不同，即“一题多解”，但是最终所求概率的值是确定的. (2)当多个试验可以建立一种模型时，样本点数可能不同，即“多题一解”，根据需要建立概率模型求解.　　 [针对训练] 科学家在1927年至1