1.4 第1课时 利用二次函数解决面积问题word-【全效学习】2023-2024学年九年级上册数学同步课件及教参（浙教版）

1．4　 二次函数的应用 第1课时　利用二次函数解决面积问题 1．已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示，在所给的自变量取值范围内，下列关于该函数的说法，正确的是(　C　) A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值－1，有最大值0 C．有最小值－1，有最大值3 D．有最小值－1，无最大值 第1题图 2．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3 cm，BC＝6 cm，动点P从点A出发，以1 cm/s的速度沿AB向点B移动，动点Q从点B出发，以2 cm/s的速度沿BC向点C移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，当点P到达点B时两点同时停止运动，则△PBQ的面积S与出发时间t之间的函数关系图象大致是(　C　) 第2题图 【解析】 由题意，得 PB＝(3－t)cm，BQ＝2t(cm)， ∴S△PBQ＝PB·BQ＝(3－t)·2t＝－t2＋3t(0≤t≤3)，故选C. 3．如图，用一段长为16 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏(墙足够长)，则这个围栏的最大面积为__32__m2. 第3题图 【解析】 设与墙垂直的一边长为x(m)，则与墙平行的一边长为(16－2x)m， ∴矩形围栏的面积＝x(16－2x)＝－2x2＋16x＝－2(x－4)2＋32. ∵－2<0， ∴当x＝4时，矩形有最大面积32 m2. 4．如图，在长为1的线段AB上取一点P，分别以AP，BP为边作正方形，则这两个正方形面积之和的最小值为____. 第4题图 【解析】 设AP＝x，由题意，得PB＝1－x， ∴这两个正方形的面积之和＝x2＋(1－x)2＝2x2－2x＋1＝22＋， ∴当x＝时，这两个正方形面积之和有最小值，最小值为. 5．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m．设饲养室的长为x(m)，占地面积为y(m2)． 第5题图 (1)如图1，当饲养室的长x为多少时，占地面积y最大？ (2)如图2，现要求在图中所示的位置留2 m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大．小敏说：“只要饲养室的长比(1)中的长多2 m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确． 解：(1)由题意，得y＝x· ＝－(x－25)2＋， ∴当x＝25时，占地面积y最大， 即当饲养室的长x为25 m时，占地面积y最大． (2)由题意，得y＝x·＝－(x－26)2＋338， ∴当x＝26时，占地面积y最大， 即当饲养室的长x为26 m时，占地面积y最大． 又∵26－25＝1≠2，∴小敏的说法不正确． 6．如图，抛物线经过A(1，0)，B(4，0)，C(0，－4)三点，D是直线BC上方抛物线上的一个动点，连结DC，DB，则△BCD面积的最大值为(　C　) 第6题图 A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 【解析】 设抛物线的函数表达式为y＝a(x－1)(x－4)(a≠0)， 把点C(0，－4)的坐标代入，得4a＝－4，解得a＝－1， ∴抛物线的函数表达式为y＝－(x－1)(x－4)＝－x2＋5x－4. 由点B，C的坐标易知直线BC的函数表达式为y＝x－4. 连结OD，设点D(x，－x2＋5x－4)，则 S△BCD＝S△OBD＋S△OBC－S△OCD＝·4·(－x2＋5x－4＋4)－·4x＝2(－x2＋4x)＝－2(x－2)2＋8， ∴当x＝2时，△BCD的面积最大，最大值为8. 7．如图，正方形ABCD的边长为12，点P，Q，M，N分别在AB，BC，CD，DA上，且BQ＝2AP，CM＝3AP，DN＝4AP.设AP＝x，建立二次函数模型，利用二次函数的性质，求出四边形PQMN的面积S的最小值． 第7题图 解：由题意，得S＝S正方形ABCD－S△APN－S△BQP－S△CMQ－S△DNM ＝122－x(12－4x)－·2x(12－x)－·3x(12－2x)－·4x(12－3x)＝12x2－60x＋144. 当x＝－＝时，Smin＝12×－60×＋144＝69. 8．如图所示为400米跑道示意图，中间的足球场ABCD是矩形，两边是半圆，设直道AB＝x米． (1)请用含x的代数式表示BC. (2)设矩形ABCD的面积为S. ①求出S关于x的函数表达式． ②当直道AB为多少米时，矩形ABCD的面积最大？ 第8题图 解：(1)由题意，得π·BC＝， ∴BC＝. (2)①∵四边形ABCD是矩形， ∴S＝·x＝－(x－100)2＋. ②当x＝100时，S最大， ∴当直道AB为100米时，矩形ABCD的面积最大． 9．某公司对办公大楼的一块墙面进行如图所示的图案设计．这个图案是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成的大正方形．设小正方形的边长为m，直角三角形较短边长为n，且n＝2m－4，大正方形的面积为S. (1)求S关于m的