28.2.2 第1课时 仰角、俯角与圆弧问题word-【全效学习】2023-2024学年九年级下册数学同步课件及教参（人教版）

28.2.2　应用举例 第1课时　仰角、俯角与圆弧问题 1. 如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是(　D　) 第1题图 A. ∠BAD B. ∠ACB C. ∠BAC D. ∠DAC 2. 如图，某数学兴趣小组测量树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝16 m，则树CD的高度是(　A　) 第2题图 A. 8(3－)m B. 8(3＋)m C. 6(3－)m D. 6(3＋)m 【解析】 设CD＝x，在Rt△ADC中，∠A＝45°，∴AD＝CD＝x，∴BD＝16－x.在Rt△BCD中，∠B＝60°，∴tan B＝，即＝， 解得x＝8(3－)． 3. 如图，已知点B，D，C在同一水平直线上，在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α，在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β，CD＝a，则建筑物AB的高度为(　D　) 第3题图 A. B. C. 　 D. 【解析】 设AB＝x，由题意，得∠ACB＝α，∠ADB＝β，∴BD＝，BC＝.又∵CD＝BC－BD＝a，∴－＝a，∴x＝，即AB＝. 4. 如图，某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形．已知矩形的宽为2 m，高为2 m，则改建后门洞的圆弧长为(　C　) A. m B. m C. m D. (＋2)m 第4题图 【解析】 如答图，连接AC，BD，AC和BD相交于点O，则O为圆心．由题意，得CD＝2 m，AD＝2 m，∠ADC＝90°，∴tan∠DCA＝＝，AC＝＝4 m， ∴∠CAD＝30°，∴易得∠AOB＝∠DOC＝60°， ∴优弧ADCB所对的圆心角为300°，∴改建后门洞的圆弧长为＝(m)． 第4题答图 5. 如图，有甲、乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°，C点的俯角β为58°，BC为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度CD为6 m，则甲建筑物的高度AB为__16__m(参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60；结果取整数)． 第5题图 【解析】 如答图，过点D作DE⊥AB于点E， 第5题答图 则易知BE＝CD＝6 m，∠ADE＝45°，∠ACB＝58°.在Rt△ABC中，∠ADE＝45°，设AE＝DE＝x m，则BC＝DE＝x m， AB＝AE＋BE＝(6＋x)m.在Rt△ABC中，tan∠ACB＝tan 58°＝＝≈1.60，解得x＝10， ∴AB＝16 m. 6. 一张圆心角为α的扇形纸板按如图所示的方式剪得一个正方形，正方形的边长为4 cm.已知tan α＝，求扇形纸板的弧长(结果保留小数点后一位)． 第6题图 解：如答图所示标注字母，连接DO. 在Rt△AOB中，∵tan α＝＝，AB＝4 cm， ∴∠α≈53°，BO＝3 cm，∴CO＝4＋3＝7(cm)， ∴DO＝＝＝(cm)， ∴扇形纸板的弧长为≈7.5(cm)． 第6题答图 7. 如图，已知小亮的目高CD为1.7 m，他站在D处测得一座塔的顶部A处的仰角∠ACG为45°；小琴的目高EF为1.5 m，她站在距离该塔底中心B点a m远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为60°，则小亮与塔底中心的距离BD为__a－0.2__m(用含a的代数式表示，点D，B，F在同一水平线上)． 第7题图 【解析】 由题意得，四边形CDBG，HBFE均为矩形， ∴BD＝CG，GB＝CD＝1.7 m，HB＝EF＝1.5 m，∴GH＝0.2 m. 在Rt△AHE中，tan∠AEH＝， ∴AH＝HE·tan∠AEH＝a m， ∴AG＝AH－GH＝(a－0.2)m. 在Rt△ACG中，∠ACG＝45°， ∴CG＝AG＝(a－0.2)m， ∴BD＝(a－0.2)m. 8. 如图，某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60 m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24 m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长(结果取整数；参考数据：sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75，≈1.73)． 第8题图 解：如答图，延长AB，CD分别与直线OF相交于点G和点H， 则AG＝60 m，GH＝AC，∠AGO＝∠EHO＝90°. 在Rt△AGO中，∠AOG＝70°，∴OG＝≈≈21.8(m)． 第8题答图 ∵∠OEF＝∠HFE