专题4.1 指数（讲+练，5大考点）-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第一册）

专题4.1 指数 知识点一 n次方根 (1)n次方根的概念 ①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． ②a的n次方根的表示： xn＝a⇒ (2)根式的性质 ①()n＝a(n∈N*，n＞1)． ②＝ 知识点二 有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ②负分数指数幂：a＝＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 提醒：有理数指数幂的运算性质中，要求底数都大于0，否则不能用性质来运算． 知识点三 无理数指数幂 有理数指数幂的运算性质可以推广到实数集. 考点01 根式的化简与求值 【典例1】（2023秋·江苏南通·高一统考阶段练习）化简：（    ） A．1 B． C． D． 【典例2】（2023秋·安徽·高一安徽省五河第一中学校联考阶段练习）已知a是的小数部分，则的值为（    ） A．2 B．4 C．‒2 D．4‒ 【规律方法】 1.根式化简或求值的注意点 解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值． 2．对与()n的进一步认识 (1)对()n的理解：当n为大于1的奇数时，()n对任意a∈R都有意义，且()n＝a，当n为大于1的偶数时，()n只有当a≥0时才有意义，且()n＝a(a≥0)． (2)对的理解：对任意a∈R都有意义，且当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝. (3)对于根式的运算还要注意变式，整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，做到化繁为简，必要时进行讨论． 3.有限制条件的根式化简的步骤 考点02 整数指数幂的化简与求值 【典例3】（2023·全国·高一专题练习）计算的结果为（    ） A． B． C．1 D． 【典例4】（2023·山东·校联考模拟预测）若， 则的值为（    ） A．8 B．16 C．2 D．18 考点03 分数指数幂与根式的互化 【典例5】（2023·全国·高一专题练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例6】【多选题】（2022秋·福建福州·高一闽侯县第一中学校考阶段练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 考点04 分数指数幂的化简、求值 【典例7】（2023·全国·高一随堂练习）计算： (1)； (2). 【典例8】（2023·全国·高一随堂练习）计算： (1)； (2)． 考点05 指数幂的化简、求值 【典例9】（2022秋·江西·高一江西师大附中校考期中）（1）计算：； （2）已知，求的值. 【典例10】（2022·全国·高三专题练习）化简： （1） （2）(a>0，b>0). （3）. 【典例11】（2023·全国·高一专题练习）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4) 【典例12】（2023·江苏·高一专题练习）化简求值： (1)； (2)若，求，的值. 【总结提升】 1.根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是： (1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点； (2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式； （3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如，，，解题时要善于应用公式变形． 2.指数幂运算的一般原则： (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 1．（全国·高考真题）如果n是正整数，那么的值（    ） A．一定是零 B．一定是偶数 C．是整数但不一定是偶数 D．不一定是整数 2．（2007·山东·高考真题）设函数，则 ． 3．（2008·重庆·高考真题）若，则= . 一、单选题 1.（2022秋·北京·高一校考期中）将化成分数指数幂的形式是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（2022秋·河北衡水·高一校考阶段练习）（多选）若存在实数a，b，c满足等式，，则c的值可能为（　　） A． B．﹣ C． D． 3．（2022秋·山东泰安·高一泰安