专题3.2 函数的基本性质（一）（重点题型解题技巧）-2023-2024学年高一数学上学期重难点题型秒杀秘籍与满分必刷（人教A版2019必修第一册）

专题3.2 函数的基本性质1（重点题型解题技巧） 【题型1 定义法判断或证明函数的单调性】 【题型2 求单一函数的单调区间】 【题型3 利用单一函数的单调性解不等式】 【题型4 复合函数单调性的确定及复合函数单调区间的确定】 题型1 定义法判断或证明函数的单调性 定义法 使用前提：一般函数类型 解题步骤： 第一步：取值定大小：设任意，且； 第二步：作差：并变形变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等)； 第三步：定符号，得出结论. 注意：同向递增，异向递减 形如1、已知函数利用函数单调性的定义证明：是其定义域上的增函数. 解：第一步：取值定大小：设任意，且； ， 任取，设 第二步：作差：并变形变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等)； 第三步：定符号，得出结论. 又 是其定义域R上的增函数. 形如2、已知函数． （1）求证：在上是单调递增函数； （2）若f（x）在上的值域是，求a的值． 解：（1）第一步：取值定大小：设任意，且； 证明：设，则，， 第二步：作差：并变形变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等)； ∵， 第三步：定符号，得出结论. ∴f（x2）＞f（x1），∴f（x）在（0，+∞）上是单调递增的． （2）∵f（x）在（0，+∞）上是单调递增的，∴f（x）在上单调递增， ∴，即，，∴． 形如3、已知函数是定义在上的函数. （1）用定义法证明函数在上是增函数； （2）解不等式. 解：（1）第一步：取值定大小：设任意，且； 任取，且， 第二步：作差：并变形变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等)； ， 第三步：定符号，得出结论. ∵，∴，又，∴， 即，故函数在上是增函数. （2）∵，∴是上的奇函数， 则， 又是上的增函数， ∴.，故解集为 1．已知函数． (1)试用单调性定义判断在上的单调性； (2)求函数在上的最值． 2．已知函数的图像过点． (1)求实数m的值； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明； 3．证明：函数在定义域R上是增函数． 4．已知 (1)函数的值域； (2)用定义证明在区间上是增函数； (3)求函数在区间上的最大值与最小值． 5．已知函数过点． (1)求的解析式； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明． (3)求函数在上的最大值和最小值. 6．证明：定义在R上的函数是增函数． 7．证明函数在区间上递减，在区间上递增，并指出函数在区间上的最值点和最值． 8．证明：在区间上是单调递增函数. 9．设函数．用定义证明函数在区间上是单调减函数； 10．已知函数.判断函数在上的单调性，并证明； 11．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)用定义法证明：在上单调递增； 12．已知函数，． (1)判断并用定义证明在上的单调性； (2)若在上的最大值为m，且（，），求的最小值． 13．求函数在上的最大值与最小值． 14．已知函数 (1)判断并证明函数在区间上的单调性； (2)求函数在区间上的值域． 15．已知函数，求的值域． 题型2 求单一函数的单调区间（图像法） 形如1： 变形 图象是以直线（恰为系数之比）为渐近线的双曲线，对称中心，通常用代点法确定两支双曲线的位置。例如：的图象如图所示： 形如2：倒数结构型 ①且时，示意图如下： 此时为奇函数，分段递增，当时， ②时，示意图如下： 可看成以直线与轴为渐近线的双曲线，两个顶点A、B可由不等式中的均值定理确定，此时的单调性、奇偶性、定义域与值域、对称性可从图中看出结论。 注意：当时或时，可转化为上述两种。 形如4：①二次函数变形（共有16种这里只介绍2种） 时,由分母二次函数图象导出整体函数图象. ②二次函数变形 第一步：先画二次函数，第二步：画原函数图象 若 注意：整体绝对值，先画出整体图象然后将轴下方的图象沿轴翻上即可. 都有绝对值，先画出整体图象然后将轴右侧的图象沿轴翻左即可 形如1：函数在区间上是增函数，则使得为增函数的区间为（       ） A． B． C． D． 先将函数看作函数向右平移3个单位所得到，再判断增区间即可 函数可以看作函数向右平移3个单位所得到，故由函数在区间上是增函数，得在区间上是增函数. 故选：C 形如2：函数的单调递增区间是（       ） A． B． 和 C．和 D． 和 去绝对值符号表示出分段函数的解析式，根据函数的解析式作出函数图象，进而根据函数图象求出单调区间，即可求出结果 如图所示： 函数的单调递增区间是和． 故选：B 一、单选题 1．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D．和 2．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D．， 3．函数的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 4．函数，的单调减区间为（    ） A． B． C．