重难突破03 全等三角形的辅助线模型-【一遍过】2023-2024学年八年级数学上学期期中+期末专题复习满分冲刺（人教版）

重难突破03 全等三角形的辅助线模型 重难突破 模型一：倍长中线型 1．（2023春·四川达州·七年级四川省大竹中学校考期末）（1）阅读理解：    如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，这样就把，，集中在中，利用三角形三边的关系可判断线段的取值范围是　 　；则中线的取值范围是 　 　； （2）问题解决： 如图②，在中，是边的中点，于点，交于点，交于点，连接，此时：与的大小关系，并说明理由． （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以为顶点作，边，分别交，于，两点，连接，此时：、与的数量关系 2．（2022秋·重庆江津·八年级重庆市江津中学校校考阶段练习）如图，在中，，是的中线，．    (1)若，，则的取值范围是______； (2)求证：； (3)求证：． 3．（2023秋·全国·八年级专题练习）（1）方法呈现：如图1，在 中，若，，D为边的中点，求边上的中线的取值范围．    解决此问题可以用如下方法： 延长至点E，使，再连接，可证，从而把集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为“倍长中线法”． （2）知识运用：如图2，在中，D为的中点，，，且线段的长度为整数．求的长度．    4．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围，小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是______． (2)求得的取值范围是______． (3)如图2，在中，点是的中点，点在边上，点在边上，若，求证：． 5．（2023·全国·八年级专题练习）规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，，回答下列问题： (1)求证：和是兄弟三角形． (2)取的中点P，连接，请证明． 模型二：截长补短型（半角模型） 6．（2022春·广东广州·七年级广州四十七中校考期中）（1）如图1，中，，，，、分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系是______． （2）如图2，若在四边形中，，，E，F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． （3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O之间夹角，试求此时两舰艇之间的距离．    7．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图所示， ，，分别是， 的平分线，点E在上，求证：．    8．（2022秋·河南信阳·八年级统考期中）如图，某村庄有一块五边形的田地，，，连接对角线，，． (1)，与之间的数量关系是____________． (2)为保护田内作物不被牲畜踩踏，村里决定给这块田地的五边上围一圈木栅栏，已知每米木栅栏的建造成本是50元，则建造木栅栏共需花费多少元？（提示：延长至点，使） (3)在和区域种上小麦，已知每平方米田地的小麦播种量为克，请直接写出需提前准备多少千克的小麦种． 9．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点P． (1)求∠APC的度数； (2)若AE＝4，CD＝4，求线段AC的长． 10．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关系．这可以证明结论“EF＝BE＋DF”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程． （1）延长CB到点G，使BG＝ ，连接AG； （2）证明：EF＝BE＋DF 模型三：角平分线+垂直型 11．（2022秋·上海浦东新·八年级校考期中）在中，，，点在直线上（，除外），的垂线与的垂线交于点，研究和的数量关系. （1）在探究，的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点是的中点时，只需要取边的中点（如图），通过推理证明就可以得到的数量关系，请你按照这种思路直接写出和的数量关系：_____________________ （2）当点是线段上（，除外）任意一点（其它条件不变），上面得到的结论是否仍然成立呢？证明你的结论； （3）点在线段的延长线上，上面得到的结论是否仍然成立呢？在下图中画出图形，并证明你的结论. 12．（2