一题多解探寻圆锥曲线压轴破解之策与算法优化（9）斜率点差法-2022年全国高考数学乙卷20题

2022年全国乙卷圆锥曲线解答题一题多解 ——谈谈圆锥曲线压轴题破解之策与算法优化 【方法策略简述】 一、解析几何大题多以圆锥曲线与直线综合应用的形式呈现，考察动态情形下的范围、最值、定点、定值等问题及存在探索性问题. 二、解决此类问题的方法策略主要有三种： 1、根与系数的关系法（主流方法）． 设出动直线的方程（），与圆锥曲线方程联立消元得到关于的一元二次方程，得两根之和两根之积，同时兼顾的要求，利用两根之和两根之积进行整体代换整体变形而求解． 2、多变量多参数联动变换法（圆曲不联立）． 此种方法有别于方法1，不联立方程消元求解，而是直接将所设出点的坐标代入曲线（直线）方程和题设中，得到若干个关于点的坐标与参数间的关系式，对这些关系式进行整体变形整体代换而求解．如弦中点问题常用点差法处理．此种方法对多变量多参数的代数式的驾驭能力及变换技巧是一种考验． 3、设点求点法． 方法1、2均采用了设而不求的策略．当问题中直线与曲线的交点易求时，可考虑直接求出点的坐标进行求解，即设点求点法．如：动直线过曲线上一已知点时，则另一交点坐标可直接求出；再如动直线与椭圆的交点易求出． 【2022‧全国乙卷‧20】 已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点． （1）求E的方程； （2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点． 【答案】（1） （2） 【解析】(1)设椭圆E的方程为，过， 则，解得，，所以椭圆E的方程为：. (2)方法一（联立韦达法） ，所以， ①若过点的直线斜率不存在，直线.代入， 可得，，代入AB方程，可得 ，由得到.求得HN方程： ，过点 ②若过点的直线斜率存在，设. 联立得， 可得，， 且 联立可得 可求得此时， 将，代入整理得， 将代入，得 显然成立， 综上，可得直线HN过定点 方法二（不联立斜率点差法） 由题意可得直线的方程为，设，则， 依题意：，所以， 由变形得故 两式相减得 故 于是即 故即， 故三点共线，即直线过定点. 【斜率点差法训练题】 1.已知椭圆的上顶点为，直线与椭圆交于两点，直线的斜率分别为.若.求证：直线过定点. 【证明】点，设，则， 椭圆方程作如下变形：，则 两式相减得 即 即直线过定点. 2.已知双曲线上一点到的两条渐近线的距离之积为. (1)求的标准方程； (2)若直线与有两个不同的交点，且的内心恒在直线上，求在轴上的截距的取值范围. 【解析】(1) (2)的内心恒在直线上，. 设，则. 双曲线的方程可变形为： 所以 作差得： 即 故 即所以所以 设直线的方程为，代入方程得 , 而当直线过点时. 结合双曲线的图象可知符合题意的截距的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$