3.1.2函数的单调性-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第一册）

专题3.1.2函数的单调性 题型1单调性概念的理解 6 ◆类型1单调性概念理解 6 ◆类型2基本初等函数的单调性 7 ◆类型3函数单调性的等价概念 8 题型2函数的单调性 9 ◆类型1定义法 10 ◆类型2图像法 11 ◆类型3性质法 13 题型3复合函数的单调性 14 题型4抽象函数的单调性 17 题型5单调性求参问题 18 ◆类型1简单函数的单调性 18 ◆类型2分段函数的单调性 20 题型6利用单调性解不等式 20 题型7利用单调性比较大小 22 题型8抽象函数与不等式 23 题型9恒成立问题 24 题型10存在成立问题 25 题型11新定义问题 26 知识点一.单调函数的定义 增函数 减函数 定 义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图 象 描 述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 知识点二.单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 注意：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． (2)单调区间D⊆定义域I. (3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大． 知识点三.函数单调性的等价结论 单调性定义的等价形式: (1) 函数f(x)在区间[a,b]上是增函数： 任取x1,x2∈[a,b],且x1<x2,都有f(x1)-f(x2)<0; 任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有; 任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0; 任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有. (2) 函数f(x)在区间[a,b]上是减函数： 任取x1,x2∈[a,b],且x1<x2,都有f(x1)-f(x2)>0; 任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有; 任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0; 任取x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,都有 （3）在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． （4）复合函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”． （5）对勾函数（耐克函数） 形如（，且为常数） 在和上为增函数，在和上为减函数. 对勾函数有两条渐近线：一条是轴（，图象无限接近于轴，但不相交）， 另一条是直线（当趋近于无穷大时，趋近于0，趋近于，因为，所以）. 注意：对于选择题，填空题可用下面四种方法判断函数单调性 1定义法：取值、作差、变形因式分解、配方、有理化、通分、定号、下结论. 2复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数. 3图象法：如果fx是以图象形式给出的，或者fx的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性. 4导数法：利用导函数的正负判断函数单调性.(选修中会学到) (5)证明函数的单调性有定义法、导数法.但在高考中，见到有解析式，尽量用导数法. 易错警示：①求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. ②如有多个单调增减区间应分别写，不能用“∪”联结. 知识点四.函数最值 （1）概念 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得 f(x0)＝M 结论 M为函数y＝f(x)的最大值 M为函数y＝f(x)的最小值 （2）求函数最值的5种常用方法 单调性法 先确定函数的单调性，再由单调性结合端点值求最值 图象法 先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值 基本不 等式法 先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值 导数法 先求出导函数，然后求出给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值 换元法 对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值 知识点五.常见的基本初等函数单调性： 函数 单调性 一次函数 当时，在R上单调递增； 当时，在R上单调递减. 反比例函数 当时，在和上单调递减； 当时，在和上单调递增. 二次函数 当时，在上单调