1.2.3 等差数列的前n项和（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

1.2.3　等差数列的前n项和 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.探索并掌握等差数列前n项和公式及其获取思路． 2．理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系，在五个量(a1，d，n，an，Sn)中，会由其中三个求另外两个． 3．能利用等差数列的前n项和公式解决实际问题． 重点难点 重点：等差数列前n项和公式及其性质的应用． 难点：在具体情境中发现等差数列的关系. 第 1 课时　等差数列的前n项和 等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d (1)若an＝Sn－Sn－1(n≥2)中令n＝1求得的a1与利用a1＝S1求得的a1相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2) 也适合n＝1的情况，数列的通项公式可用an＝Sn－Sn－1表示． (2)若an＝Sn－Sn－1(n≥2)中令n＝1求得的a1与利用a1＝S1求得的a1不相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)不适合n＝1的情况，此时数列的通项公式采用分段形式表示，即an＝ 1．判断正误 (1)等差数列前n项和公式的推导方法是倒序相加法．(　 ) (2)若数列{an}的前n项和Sn＝kn(k∈R)，则{an}为常数列．(　 ) (3)an＝Sn－Sn－1(n≥2)化简后关于n与an的函数式即为数列{an}的通项公式．(　 ) (4)1＋2＋3＋…＋100＝.(　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．设Sn是等差数列的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　 ) A．5　　　　　　　　 B．7 C．9 D．11 答案：A 3．已知等差数列{an}满足a1＝1，am＝99，d＝2，则其前m项和Sm等于(　 ) A．2 300 B．2 400 C．2 600 D．2 500 答案：D [题点一] 等差数列前n项和公式的基本运算 [典例]　在等差数列{an}中，(1)已知a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d； (2)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10； (3)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n. [解]　(1)由题意得， Sn＝＝＝－5，解得n＝15. 又a15＝＋(15－1)d＝－， ∴d＝－，∴n＝15，d＝－. (2)法一：设等差数列{an}的公差为d， 由已知条件得 解得 ∴S10＝10a1＋d＝10×3＋×4＝210. 法二：设等差数列{an}的公差为d， 由已知条件得 ∴a1＋a10＝42， ∴S10＝＝5×42＝210. (3)S7＝＝7a4＝42，∴a4＝6. ∴Sn＝＝ ＝＝510.∴n＝20. [方法技巧] 等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． (2)结合等差数列的性质解题 等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用．　　 [对点训练] 　在等差数列{an}中， (1)a1＝1，a4＝7，求S9； (2)a3＋a15＝40，求S17. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则a4＝a1＋3d＝1＋3d＝7，所以d＝2. 故S9＝9a1＋d＝9＋×2＝81. (2)S17＝＝＝＝340. [题点二] Sn与an的关系 [典例]　设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n. (1)求a1及an； (2)判断这个数列是否是等差数列． [解]　(1)因为Sn＝2n2－30n，所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－2(n－1)2＋30(n－1)＝4n－32. 又当n＝1时上式也成立，所以an＝4n－32(n∈N＋)． (2)由an＝4n－32，得an－1＝4(n－1)－32(n≥2)， 所以an－an－1＝4n－32－4(n－1)＋32＝4(常数)，所以数列{an}是等差数列． [拓展] 　将本例的条件“Sn＝2n2－30n”改为“log2(Sn＋1)＝n＋1”，其他条件不变，求an. 解：由log2(Sn＋1)＝n＋1得Sn＋1＝2n＋1，∴Sn＝2n＋1－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－1－2n＋1＝2n； 当n＝1时，a1＝S1＝3.经检验不符合上式． ∴an＝ [方法技巧] 已知数列{an}的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤 (1)当n＝1时，a1＝S1. (2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1. (3)如果a1