1.3.3 等比数列的前n项和（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

1．3.3　等比数列的前n项和 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式及前n项和的性质． 2．理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系． 3．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题． 重点难点 重点：等比数列前n项和公式及性质的应用． 难点：掌握几种数列求和的方法. 第 1 课时　等比数列的前n项和及其性质 1．等比数列的前n项和公式 2．等比数列前n项和的性质 性质1 若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝A－Aqn(Aq≠0，q≠1)，则数列{an}是等比数列 性质2 若数列{an}为公比不为－1或公比为－1且n为奇数的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍构成等比数列 性质3 若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N＋) 性质4 若数列{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则在等比数列中， ①若项数为2n(n∈N＋)，则＝q；②若项数为2n＋1项，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1) 1．判断正误 (1)在等比数列{an}中，a1＝b，公比为q，则前3项和为.(　 ) (2)若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na.(　 ) (3)若等比数列{an}是递增数列，前n项和为Sn，则{Sn}也是递增数列．(　 ) (4)若a∈R，则1＋a＋a2＋…＋an－1＝.(　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S5等于(　 ) A．93 B．－93 C．45 D．－45 解析：选A　S5＝＝＝93. 3．在等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为(　 ) A．4 B．－4 C．2 D．－2 解析：选A　利用等比数列前n项和公式，得＝44，解得a1＝4. [题点一] 等比数列前n项和公式的基本运算 [典例]　在等比数列{an}中， (1)S2＝30，S3＝155，求Sn； (2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5； (3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求公比q. [解]　(1)法一：由题意知 解得或 从而Sn＝＝(5n－1)或Sn＝＝. 法二：若q＝1，则S3∶S2＝3∶2，而事实上，S3∶S2＝31∶6，故q≠1. 所以 两式作比，得＝， 解得或 从而Sn＝＝(5n－1)或Sn＝＝. (2)法一：由题意知解得 从而S5＝＝. 法二：由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，得q3＝，从而q＝. 又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10， 所以a1＝8，从而S5＝＝. (3)因为a2an－1＝a1an＝128，所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两个根． 从而或又Sn＝＝126， 所以q＝2或. [方法技巧] 等比数列前n项和运算的注意点 (1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． 在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． 当q＝1时，等比数列是常数列，所以Sn＝na1； 当q≠1时，等比数列的前n项和Sn有两个公式． 当已知a1，q与n时，用Sn＝比较方便； 当已知a1，q与an时，用Sn＝比较方便． (2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可看作一个整体．　　 [对点训练] 1．等比数列{an}中，首项a1＝12，公比q＝，那么它的前4项和S4的值为(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　S4＝＝＝. 2．设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝3a3，则公比q的值为________． 　　　　 解析：当q＝1时，S3＝a1＋a2＋a3＝3a1＝3a3，成立； 当q≠1时，S3＝，a3＝a1q2，又S3＝3a3，所以＝3q2，化简得2q2－q－1＝0， 解得q＝－(q＝1舍去)． 综上可知，公比q的值为1或－. 答案：1或－ [题点二] 等比数列前n项和性质的应用 [典例]　(1)在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n. (2)一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数． [解]　(1)法一：∵S2n≠2Sn，∴q≠1， 由已知得 ②÷①，得1＋qn＝，即qn＝，　③ 将③代入①，得＝64， ∴S3n＝＝641－＝63.