1.3.2 等比数列的性质及应用（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

第 2 课时　等比数列的性质及应用 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.能根据等比数列的定义，推出等比数列的常用性质． 2.能运用等比数列的性质简化计算． 重点难点 重点：等比数列的性质的应用． 难点：理解等比数列与指数函数的关系. 1．对称性 对有穷等比数列，与首末两端“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1an＝a2an－1＝a3an－2＝…＝am·an－m＋1(n>m且n，m∈N＋)； 特别地：①若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an； ②若m，p，n(m，p，n∈N＋)成等差数列，则am，ap，an成等比数列． 2．子数列 (1)对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q； (2)若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk；(3)连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或qk2)的等比数列． 3．合成数列 (1)若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是q，，q2；(2)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和. 1．在等比数列{an}中，已知a1>0,8a2－a5＝0，则数列{an}为(　 ) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定单调性 答案：A 2．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　 ) A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列 答案：D 3．已知等比数列{an}中，a4＝2，则a1a2…a7＝(　 ) A．8 B．14 C．128 D．256 解析：选C　由等比数列的性质可知，a1a7＝a2a6＝a3a5＝a＝4，故a1a2…a7＝43×2＝128. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [题点一] 等比数列性质的应用 [典例]　已知{an}为等比数列． (1)若a2a4＝，求a1aa5； (2)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5； (3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． [解]　(1)在等比数列{an}中， ∵a2a4＝，∴a＝a1a5＝a2a4＝， ∴a1aa5＝. (2)由等比中项，化简条件得a＋2a3a5＋a＝25，即(a3＋a5)2＝25， ∵an>0，∴a3＋a5＝5. (3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]＝log395＝10. [方法技巧] 有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，先解出a1和q，然后利用通项公式求解．但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项的“下标”的指导作用．　　 [对点训练] 1．公比为的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a16等于(　 ) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选B　因为a3a11＝16，所以a＝16.又因为an>0， 所以a7＝4，所以a16＝a7q9＝32，即log2a16＝5. 2．已知在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝________. 解析：因为{an}是等比数列，所以a1a7＝a，a2a8＝a，a3a9＝a.所以a·a·a＝(a1a7)·(a2a8)·(a3a9)＝(a1a2a3)·(a7a8a9)＝5×10＝50.因为an>0，所以a4a5a6＝5. 答案：5 [题点二] 灵活设元求解等比数列问题 [典例]　有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数． [解]　法一：设这四个数依次为a－d，a，a＋d，(a≠0)，由条件得 解得或 所以当a＝4，d＝4时，所求的四个数为0,4,8,16；当a＝9，d＝－6时，所求的四个数为15,9,3,1. 故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 法二：设这四个数依次为－a，，a，aq(q≠0)， 由条件得解得或 当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0,4,8,16；当a＝3，q＝时，所求的四个数为15,9,3,1. 故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. [方法技巧] 几个数成等比数列