检测评价4 等差数列的性质及应用（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

4 / 4 “四翼”检测评价（四） 等差数列的性质及应用 (一)基础落实 1．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝100，则2a10－a12的值为(　 ) A．20 B．22 C．24 D．26 解析：选A　由已知，得5a8＝100，所以a8＝20，所以2a10－a12＝a8＋a12－a12＝a8＝20. 2．在等差数列{an}中，若a2 017＝log27，a2 023＝log2 ，则a2 020＝(　 ) A．0 B．7 C．1 D．49 解析：选A　∵数列{an}是等差数列，∴由等差数列的性质可知2a2 020＝a2 017＋a2 023＝log27＋log2＝log21＝0，故a2 020＝0. 3．若方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|＝(　 ) A．1 B. C. D. 解析：选C　设方程的四个根a1，a2，a3，a4依次成等差数列，则a1＋a4＝a2＋a3＝2， 再设此等差数列的公差为d，则2a1＋3d＝2， ∵a1＝，∴d＝， ∴a2＝＋＝，a3＝＋1＝，a4＝＋＝， ∴|m－n|＝|a1a4－a2a3|＝＝. 4．(多选)已知数列{an}的通项公式为an＝a＋bn(a，b为常数)，则下列说法正确的是(　 ) A．若a2>a1，则a3>a1 B．若a2>a1，则a3>a2 C．若a3>a1，则a2>a1 D．若a2>a1，则a1＋a2>a1 解析：选ABC　由an＝a＋bn，知an＋1＝a＋b(n＋1)．∴an＋1－an＝b.故数列{an}是等差数列，且公差为b.由等差数列的单调性可得，若a2>a1，则公差b>0，所以数列{an}是递增数列．故A、B一定成立．若a3>a1，则a3－a1＝2b>0，所以数列{an}是递增数列．所以a2>a1.故C一定成立．当a2<0时，a1＋a2>a1不成立，故D不一定成立． 5．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细．在粗的一端截下一尺，重四斤；在细的一端截下一尺，重二斤．问依次每一尺各重几斤？”根据已知条件，若金锤由粗到细是均匀变化的，则中间三尺共重(　 ) A．3斤 B．6斤 C．9斤 D．12斤 解析：选C　由细到粗各尺重构成一个等差数列{an}(n＝1,2,3,4,5)，易知a1＝2，a5＝4，根据等差数列的性质可知a1＋a5＝2a3＝6，解得a3＝3，则中间三尺共重a2＋a3＋a4＝3a3＝9斤，故选C. 6．某人练习写毛笔字，第一天写了4个大字，以后每天比前一天都多写，且多写的字数相同，第三天写了12个大字，则此人每天比前一天多写________个大字． 解析：由题意可知，此人每天所写大字数构成首项为4，第三项为12的等差数列，即a1＝4，a3＝12， 所以d＝＝4. 答案：4 7．设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________. 解析：由{an}，{bn}都是等差数列可知{an＋bn}也是等差数列，设{an＋bn}的公差为d， 所以a3＋b3＝(a1＋b1)＋2d，则2d＝21－7，即d＝7. 所以a5＋b5＝(a1＋b1)＋4d＝35. 答案：35 8．在等差数列{an}中，a15＝8，a60＝20，则a105＝____. 解析：由等差数列的性质知：a15，a60，a105成等差数列， 所以2a60＝a15＋a105， 所以a105＝2a60－a15＝40－8＝32. 答案：32 9．已知首项为a1，公差d为正整数的等差数列{an}满足下列两个条件： (1)a3＋a5＋a7＝93； (2)满足an＞100的n的最小值是15. 试求公差d和首项a1的值． 解：∵a3＋a5＋a7＝93， ∴3a5＝93，∴a5＝31，∴an＝a5＋(n－5)d. 令an＞100，得n＞＋5. ∵满足an＞100的n的最小值是15， ∴14≤＋5＜15，∴6＜d≤7，又d为正整数， ∴d＝7，a1＝a5－4d＝3. 10．已知四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此四个数． 解：设所求四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d， 依题意可得， 化简可得 ∴或或或 ∴所求四数为－1,2,5,8或－8，－5，－2,1或8,5,2，－1或1，－2，－5，－8. (二)综合应用 1．设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列，则(　 ) A．d>0 B．d<0 C．a1d>0 D．a1d<0 解析：选D　∵{2a1an}为递减数列， ∴<1，即