检测评价3 等差数列的概念及通项公式（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

5 / 5 “四翼”检测评价（三） 等差数列的概念及通项公式 (一)基础落实 1．已知数列{an}是等差数列，a2＝2，a5＝8，则公差d的值为(　 ) A. B．－ C．2 D．－2 解析：选C　设{an}的首项为a1，公差为d，根据题意得解得d＝2. 2．已知a,2a－1,6－a这三个数成等差数列，则此数列的公差为(　 ) A．－1 B．1 C．2 D．－ 解析：选B　由2(2a－1)＝a＋(6－a)，得a＝2，故原数列为2,3,4，它的公差为1. 3．(多选)下列通项公式表示的数列为等差数列的是(　 ) A．an＝3n＋1 B．an＝n2＋1 C．an＝1 D．an＝1－2n 解析：选ACD　对于A，因为an＋1－an＝3(n＋1)＋1－(3n＋1)＝3(常数)，n为任意正整数，所以此数列为等差数列，故A正确．对于B，因为an＋1－an＝(n＋1)2＋1－(n2＋1)＝2n＋1，n为任意正整数，所以此数列不为等差数列．故B错误．对于C，因为an＋1－an＝1－1＝0(常数)，n为任意正整数，所以此数列为等差数列．故C正确．对于D，因为an＋1－an＝1－2(n＋1)－(1－2n)＝－2(常数)，n为任意正整数，所以此数列为等差数列．故D正确． 4．已知数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，则a2 023的值是(　 ) A．1 010 B．1 011 C．1 012 D．1 013 解析：选D　由2an＋1＝2an＋1，得an＋1－an＝，所以{an}是等差数列，首项a1＝2，公差d＝， 所以an＝2＋(n－1)＝. 所以a2 023＝＝1 013. 5．已知数列是等差数列，且a1＝1，a4＝4，则a10＝(　 ) A．－ B．－ C. D. 解析：选A　设等差数列的公差为d，则－＝3d＝－，d＝－，∴＝＋9d＝1－＝－，a10＝－.故选A. 6．在等差数列{an}中，已知a5＝11，d＝－2，an＝1，则n＝________. 解析：因为a5＝11，d＝－2，所以a1＋4×(－2)＝11， 所以a1＝19.所以an＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21.令－2n＋21＝1，得n＝10. 答案：10 7．已知数列{an}满足an－1＋an＋1＝2an(n≥2，n∈N＋)，且a2＝5，a5＝13，则a8＝________. 解析：由an－1＋an＋1＝2an(n≥2，n∈N＋)知，数列{an}是等差数列，∴a2，a5，a8成等差数列，∴a2＋a8＝2a5，∴a8＝2a5－a2＝2×13－5＝21. 答案：21 8．《九章算术》是我国古代数学名著，其中有道“竹九节问题”：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容各多少？”意思为：今有竹九节，下三节容量之和为4升，上四节容量之和为3升，且每一节容量变化均匀(即每节容量成等差数列)，则中间两节各多少容量？在这个问题中，中间一节的容量为________升． 解析：设从最上至最下每节的容量构成等差数列{an}，公差为d，由题意知 则解得故a5＝a1＋4d＝. 答案： 9．在等差数列{an}中， (1)已知a4＝－1，a12＝23，求a1与d； (2)已知a2＝5，a5＋a9＝30，求an. 解：(1)由题意知解得 (2)由题意知解得a1＝3，d＝2， 所以an＝3＋×2＝2n＋1. 10．已知等差数列{an}：3,7,11,15，…. (1)135,4m＋19(m∈N＋)是数列{an}中的项吗？请说明理由． (2)若am，at(m，t∈N＋)是数列{an}中的项，则2am＋3at是数列{an}中的项吗？请说明理由． 解：(1)∵a1＝3，a2＝7，∴d＝a2－a1＝4， ∴an＝a1＋(n－1)d＝4n－1. 令an＝4n－1＝135，解得n＝34. ∴135是数列{an}中的第34项． ∵4m＋19＝4(m＋5)－1，且m∈N＋， ∴4m＋19是数列{an}中的第(m＋5)项． (2)∵am，at(m，t∈N＋)，是数列{an}中的项， ∴am＝4m－1，at＝4t－1， ∴2am＋3at＝2(4m－1)＋3(4t－1) ＝4(2m＋3t－1)－1. ∵2m＋3t－1∈N＋， ∴2am＋3at是数列{an}中的第(2m＋3t－1)项． (二)综合应用 1．若数列为等差数列，且a1＝，a3＝，则cos a20＝(　 ) A. B. C．－ D．－ 解析：选C　d＝＝，a20＝a1＋19·＝，cos a20＝cos＝cos＝cos＝－. 2．(多选)在等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}，则(　 ) A．b1＝－7 B．b2＝27 C．an＝8－5n