检测评价2 数列的递推公式及函数性质（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

4 / 4 “四翼”检测评价（二） 数列的递推公式及函数性质 (一)基础落实 1．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－9n－100，则其最小项是(　 ) A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第4项或第5项 解析：选D　f(x)＝x2－9x－100的对称轴为x＝，且开口向上．∴an＝n2－9n－100的最小项是第4项或第5项． 2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是(　 ) A．an＋1＝an＋n，n∈N＋ B．an＝an－1＋n，n∈N＋ C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N＋ D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N＋，n≥2 解析：选C　由已知得a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4， a5－a4＝5，…，an＋1－an＝n＋1，n∈N＋，故选C. 3．已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n(n∈N＋)，则a4的值为(　 ) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：选D　因为a1＝2，an＋1＝an＋n，所以a2＝a1＋1＝2＋1＝3，a3＝a2＋2＝3＋2＝5，a4＝a3＋3＝5＋3＝8. 4．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lg，则an＝(　 ) A．2＋lg n B．2＋(n－1)lg n C．2＋nlg n D．1＋n＋lg n 解析：选A　由an＋1＝an＋lg⇒an＋1－an＝lg，那么an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝2＋lg 2＋lg ＋lg ＋…＋lg ＝2＋lg2×××…×＝2＋lg n. 5．(多选)设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1－，数列{an}的前n项积为Tn，则(　 ) A．a5＝ B．an＋3＝an C．T2 020＝－2 D．T2 020＝2 解析：选ABC　由题意知a1＝2，a2＝1－＝，a3＝1－2＝－1，a4＝1＋1＝2，a5＝1－＝，a6＝1－2＝－1.由此可知数列{an}是以3为周期的周期数列．即an＋3＝an，故T2 020＝a1·a2·a3·…·a2 019·a2 020＝(a1a2a3)673·a2 020＝－a2 020＝－a1＝－2. 6．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝1，an＋2＝an＋an＋1，则a6＝__________. 答案：8 7．在数列{an}中，a4＝1，a11＝9，且任意连续三项的和都是15，则a41＝________. 答案：9 8．在数列{an}中，a1＝1，a1＋＋＋…＋＝an(n∈N＋)，则数列{an}的通项公式an＝________. 解析：由a1＋＋＋…＋＝an(n∈N＋)知，当n≥2时，a1＋＋＋…＋＝an－1，∴＝an－an－1，即an＝an－1，∴an＝…＝2a1＝2，∴an＝. 答案： 9．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4. (1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值．并求出最小值； (2)对于n∈N＋，都有an＋1＞an，求实数k的取值范围． 解：(1)若k＝－5，则an＝n2－5n＋4＝(n－1)(n－4)， 令an＜0，则1＜n＜4， ∴数列中第2、3项共2项为负数． ∵f(x)＝x2－5x＋4是开口向上， 对称轴为x＝的抛物线， ∴当n＝2或3时，an有最小值22－5×2＋4＝－2. (2)依题意，an＋1＞an， 即(n＋1)2＋k(n＋1)＋4＞n2＋kn＋4， 整理得k＞－2n－1， 又∵对于n∈N＋，都有an＋1＞an， ∴k大于－2n－1的最大值，∴k＞－2－1＝－3. 故实数k的取值范围为(－3，＋∞)． (二)综合应用 1．已知数列an的通项公式为an＝n－，若对任意的n∈N＋，都有an≥a3，则实数k的取值范围为(　 ) A．[－12，－6] B．(－12，－6) C．[－12，－5] D．(－12，－5) 解析：选A　n－≥3－对任意的n∈N＋恒成立，即－k≥3－n，即－≥3－n， 当n≥4时，k≥－3n，所以k≥－12；当n＝1时，k≤－3；当n＝2时，k≤－6， 以上三个都要成立，故取交集得－12≤k≤－6. 2．数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，一般指冰雹猜想，它是指一个正整数，如果是奇数就乘3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次数，最终回到1.对任意正整数a0，记按照上述规则实施第n次运算的结果为an(n∈N)，则使a7＝1的a0所有可能取值的个数为(　 ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选D　由题意知∀n∈N*， an＝由a7＝1，得a6＝2.∴a5＝4.∴a4＝1或a4＝8.①当a4＝1时，a3＝2，∴a2＝4.∴a1＝1或a1＝8.∴a0＝2或a0＝16.②若a4＝8，则a3＝16，∴a2＝5或a2＝32.当a2＝5时，