检测评价8 等比数列的性质及应用（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

5 / 5 “四翼”检测评价（八） 等比数列的性质及应用 (一)基础落实 1．设各项均为正数的等比数列{an}满足a4a8＝3a7，则log3(a1a2·…·a9)等于(　 ) A．38 B．39 C．9 D．7 解析：选C　因为a4a8＝a5a7＝3a7且a7≠0，所以a5＝3， 所以log3(a1a2·…·a9)＝log3a＝log339＝9. 2．在正项等比数列{an}中，an＋1<an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则等于(　 ) A. B. C. D. 解析：选D　设公比为q，则由等比数列{an}各项为正数且an＋1<an知0<q<1， 由a2·a8＝6，得a＝6.∴a5＝，a4＋a6＝＋q＝5.解得q＝，∴＝＝2＝. 3．设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则的值为(　 ) A. B. C. D．1 解析：选A　由题意得a2＝2a1，a3＝4a1，a4＝8a1.所以＝＝. 4．在1与100之间插入n个正数，使这n＋2个数成等比数列，则插入的n个数的积为(　 ) A．10n B．n10 C．100n D．n100 解析：选A　设这n＋2个数为a1，a2，…，an＋1，an＋2，则(a2·a3·…·an＋1)2＝(a1·an＋2)n＝100n，∴a2·a3·…·an＋1＝10n. 5．(多选)已知等比数列{an}的公比q＝－，等差数列{bn}的首项b1＝9，若a7>b7且a8>b8，则以下结论正确的是(　 ) A．a8>0 B．b8<0 C．a7>a8 D．b7>b8 解析：选BD　因为等比数列{an}的公比q＝－，则a7＝a1，a8＝－a1，而a1的正负不确定，因此不能确定a7和a8的正负及大小关系，A、C错误；显然a7和a8异号，又a7>b7且a8>b8，则b7，b8中至少有一个是负数，而b1＝9>0，于是等差数列{bn}的公差d<0，即数列{bn}单调递减，因此b7>b8，且b8<0，B、D正确．故选B、D. 6．在等比数列{an}中，存在正整数m，有am＝3，am＋5＝24，则am＋15＝____________. 解析：由题意知q5＝＝8，am＋15＝am·q15＝3×83＝1 536. 答案：1 536 7．在等比数列{an}中，已知a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝________. 解析：因为{an}是等比数列，所以a5a6＝a4a7＝－8，又a4＋a7＝2， 解得a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4. 当a4＝4，a7＝－2时，q3＝－，a1＋a10＝＋a7q3＝－7； 当a4＝－2，a7＝4时，q3＝－2，a1＋a10＝＋a7q3＝－7. 综上，a1＋a10＝－7. 答案：－7 8．设数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列．若a1＋a5＋a9＝π，则cos(a2＋a8)＝______；若bn>0，且b5b6＋b4b7＝4，则b1b2…b10＝________. 解析：因为数列{an}为等差数列，a1＋a5＋a9＝π， 所以3a5＝π⇒a5＝， 所以cos(a2＋a8)＝cos(2a5)＝cos＝－. 又因为数列{bn}为等比数列，bn>0，且b5b6＋b4b7＝4， 所以2b5b6＝4⇒b5b6＝2，所以b1b2…b10＝(b5b6)5＝25＝32. 答案：－　32 9．若四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13后所得数成等差数列，求这四个数． 解：设所求四个数分别为a，aq，aq2，aq3，则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列． 所以解得 所以这四个数分别为3,6,12,24. 10．已知数列{an}为等比数列． (1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值； (2)若数列{an}的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项． 解：(1)∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，∴a＋2a3a5＋a＝36，即(a3＋a5)2＝36，又∵an>0，∴a3＋a5＝6. (2)设等比数列{an}的公比为q，∵a2－a5＝42， ∴q≠1.由已知，得 ∴解得 若G是a5，a7的等比中项，则有G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝aq10＝962×10＝9， ∴a5，a7的等比中项为±3. (二)综合应用 1．已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a1·a6·a11＝3，b1＋b6＋b11＝－，则tan 的值是(　 ) A．－ B. C．－ D．1 解析：选D　在等差数列{bn}中，b1＋b6＋b11＝－，∴b6＝－，∴b3＋b9＝2b6＝－，在等比数列{an}中，a1·a6·a11＝3，即a＝3，∴a6＝.∴1－a4a8＝1－