检测评价7 等比数列的概念及通项公式（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

5 / 5 “四翼”检测评价（七） 等比数列的概念及通项公式 (一)基础落实 1．在数列{an}中，若an＋1＝3an，a1＝2，则a4为(　 ) A．108 B．54 C．36 D．18 解析：选B　因为an＋1＝3an，所以数列{an}是公比为3的等比数列，则a4＝33a1＝54. 2．有下列四个说法： ①等比数列中的某一项可以为0；②等比数列中公比的取值范围是(－∞，＋∞)；③若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1；④若b2＝ac，则a，b，c成等比数列．其中正确说法的个数为(　 ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选B　等比数列中公比不能取0，且各项均不可为0，所以只有③正确． 3．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a5·a15＝16，则a8等于(　 ) A．1 B．2 C．4 D．8 解析：选A　∵a5·a15＝a1q4·a1q14＝(a1q9)2＝a＝16，∴a10＝4，∴a8＝＝＝1. 4．在等比数列{an}中，a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q等于(　 ) A．－2 B．1或－2 C．1 D．1或2 解析：选B　根据题意，代入公式 解得或 5．(多选)已知{an}为等差数列，满足4a3－a8＝7，a2＋a7＝11，{bn}为等比数列，满足b1＝a1，b4＝a15，则(　 ) A．{an}的首项与公差相等 B．a2，a5，a11成等比数列 C．{bn}的首项与公比相等 D．b3，b5，b6成等差数列 解析：选BC　因为{an}是等差数列，设公差为d，则4a3－a8＝3a1＋d＝7，a2＋a7＝2a1＋7d＝11，解得a1＝2，d＝1，故A错误；可得an＝2＋n－1＝n＋1，所以a2＝3，a5＝6，a11＝12，是等比数列，故B正确；数列{bn}为等比数列，且b1＝a1＝2，b4＝a15＝16，所以q＝2，则bn＝2n，故C正确；b3＝8，b5＝32，b6＝64，不是等差数列，故D错误． 6．在等比数列{an}中，若a3＝3，a10＝384，则公比q＝______. 解析：a3＝a1q2＝3，a10＝a1q9＝384，两式相除得，q7＝128，所以q＝2. 答案：2 7．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________. 解析：由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6， 所以q＝＝＝，所以an＝4×n－1. 答案：4×n－1 8．已知等比数列{an}的公比不为1，a1＝1，且a2，a4，a3成等差数列，则a5＝________. 解析：根据题意得 a3＋a2－2a4＝0，∴a1q2＋a1q－2a1q3＝0，q2＋q－2q3＝0 且q≠1， 解得q＝－.∵a1＝1，∴a5＝a1q4＝4＝. 答案： 9．在等比数列{an}中，a3＝32，a5＝8. (1)求数列{an}的通项公式an； (2)若an＝，求n. 解：(1)因为a5＝a3q2，所以q2＝＝. 所以q＝±. 当q＝时，an＝a3qn－3＝32×n－3＝28－n； 当q＝－时，an＝a3qn－3＝32×－n－3. 综上，an＝28－n或an＝32×－n－3. (2)当an＝时，即28－n＝或32×－n－3＝，解得n＝9. 10．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N＋)． (1)求a1，a2； (2)求证：数列{an}是等比数列． 解：(1)由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)， 所以a1＝－. 又S2＝(a2－1)，即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝. (2)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，得＝－. 又a1＝－，所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列． (二)综合应用 1．三个实数成等差数列，首项是9，若将第二项加2，第三项加20可使得这三个数依次构成等比数列{an}，则a3的所有取值中的最小值是(　 ) A．49 B．36 C．4 D．1 解析：选D　设原来的三个数为9,9＋d,9＋2d，由题意可知，a1＝9，a2＝11＋d，a3＝29＋2d，且a＝a1a3，所以(d＋11)2＝9(2d＋29)，即d2＋4d－140＝0，解得d＝10或－14.则a3的所有取值中的最小值是29－2×14＝1. 2．(多选)设公比为q的等比数列{an}的前n项积为Tn，若a2a8＝16，则(　 ) A．a5＝4 B．当a1＝1时，q＝± C．log2＝18 D．a＋a≥36 解析：选BC　A选项，因为a＝a2a8＝16，所以a5＝±4，所以A不正确；B选项，因为a1＝1，a2a8＝16，则aq8＝16，所以q8＝16，所以q＝±，所以B正确；C选项，因为T9