检测评价6 等差数列的前n项和的性质及应用（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

5 / 5 “四翼”检测评价（六） 等差数列的前n项和的性质及应用 (一)基础落实 1．已知数列{2n－19}，那么这个数列的前n项和Sn(　 ) A．有最大值且是整数 B．有最小值且是整数 C．有最大值且是分数 D．无最大值和最小值 解析：选B　易知数列{2n－19}的通项an＝2n－19， ∴a1＝－17，d＝2.∴该数列是递增等差数列．令an＝0，得n＝9.∴a1<a2<a3<…<a9<0<a10<…. ∴该数列前n项和有最小值，为S9＝9a1＋d＝－81. 2．在等差数列{an}中，已知首项a1>0，公差d<0，Sn为其前n项和，则点(n，Sn)所在的曲线可能为(　 ) 解析：选C　Sn为等差数列的前n项和，故Sn＝n2＋n，又a1>0，d<0，故点(n，Sn)在开口向下的抛物线上且S1>0，C中曲线满足． 3．在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，若－＝2，则S10等于(　 ) A．10 B．100 C．110 D．120 解析：选B　∵{an}是等差数列，a1＝1，∴也是等差数列且首项为＝1. 又－＝2，∴的公差是1，∴＝1＋(10－1)×1＝10，∴S10＝100. 4．数列是等差数列，Sn为其前n项和，且a1<0，a2 020＋a2 021<0，a2 020·a2 021<0，则使Sn<0成立的最大正整数n是(　 ) A．2 020 B．2 021 C．4 040 D．4 041 解析：选C　设数列的公差为d，由a1<0，a2 020＋a2 021<0，a2 020·a2 021<0， 可知a2 020<0，a2 021>0，所以d>0，数列为递增数列， S4 041＝＝4 041a2 021>0，S4 040＝2 020＝2 020<0， 所以可知n的最大值为4 040. 5．(多选)等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1＞0，S10＝S20，则(　 ) A．d＜0 B．a16＜0 C．Sn≤S15 D．当且仅当Sn＜0时n≥32 解析：选ABC　设等差数列{an}的公差为d，∵S10＝S20，∴10a1＋45d＝20a1＋190d，∴2a1＋29d＝0，∵a1＞0，∴d＜0，故A正确；∴a1＋14d＋a1＋15d＝0，即a15＋a16＝0，∵d＜0，∴a15＞a16，∴a15＞0，a16＜0，故B正确；∴Sn≤S15，故C正确；又S31＝＝31a16<0，S30＝＝15(a15＋a16)＝0， ∴当且仅当Sn＜0时，n≥31，故D错误． 6．在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝________. 解析：∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5. 答案：5 7．已知在等差数列{an}中，公差d＝1，且前100项和为148，则前100项中的所有偶数项的和为________． 解析：由题意，得S奇＋S偶＝148，S偶－S奇＝50d＝50，解得S偶＝99. 答案：99 8．在等差数列{an}中，a10＜0，a11＞0，且a11＞|a10|，则满足Sn＜0的n的最大值为________． 解析：因为a10＜0，a11＞0，且a11＞|a10|， 所以a11＞－a10，a1＋a20＝a10＋a11＞0， 所以S20＝＞0. 又因为a10＜0，所以S19＝＝19a10＜0， 故满足Sn＜0的n的最大值为19. 答案：19 9．已知在等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)当n为何值时，数列{an}的前n项和Sn取得最大值？ 解：(1)由a1＝9，a4＋a7＝0，得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n. (2)a1＝9，d＝－2，Sn＝9n＋·(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25，∴当n＝5时，Sn取得最大值． 10．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝－15，S5＝－55. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若不等式Sn>t对于任意的n∈N＋恒成立，求实数t的取值范围． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，S5＝5·＝5a3＝－55， ∴a3＝－11，∴d＝＝＝2. ∴an＝a1＋(n－1)d＝－15＋(n－1)×2＝2n－17. (2)由(1)知，an＝2n－17，∴Sn＝＝＝n(n－16)＝(n－8)2－64， ∴(Sn)min＝－64.Sn>t对任意n∈N＋恒成立等价于(Sn)min>t，即－64>t.∴t∈(－∞，－64)． (二)综合应用 1．(多选)设d，Sn分别为等差数列{an}的公差与前n项和，若S10＝S20，则下列论断正确的是