1.2.1 等差数列的概念及通项公式（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

开始 考查内容1 落实必备知识 01 02 03 目 录 考查内容2 强化关键能力 考查内容3·4 浸润学科素养和核心价值 2 1．2.1&1.2.2　等差数列及其通项公式　等差数列与一次函数 第 1 课时　等差数列的概念及通项公式 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义． 2．能在具体的问题情境中发现数列的等差关系，并能解决相应的问题． 重点难点 重点：等差数列通项公式的应用． 难点：对等差数列的理解. (一)等差数列的概念 一般地，如果一个数列从________起，每一项减去它的________之差都等于______________，那么这个数列称为等差数列，这个_______叫作等差数列的公差，常用字母d表示． 第2项 前一项 同一个常数 常数 (1)“从第2项起”是指第一项前面没有项，无法与后续条件中“与它的前一项之差”相吻合． (2)“每一项与它的前一项之差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻． (3)定义中的“同一个常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列． 答案：B　 2．在－1和8之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则公差为________． 解析：由已知a－(－1)＝b－a＝8－b＝d，∴8－(－1)＝3d，∴d＝3. 答案：3 (二)等差数列的通项公式 1．等差数列的递推公式与通项公式 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 递推公式 通项公式 an＋1－an＝d an＝_____________ a1＋(n－1)d (3)由方程思想，已知an，a1，n，d中的任何三个量，可以求出另一个量，即“知三求一”． (4)根据通项公式知，已知数列的任意两项，可以确定等差数列的每一项． 2．等差中项 在两个数a，b之间插入M，使a，M，b成等差数列，则_____称为a与b的等差中项． M 1．已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－2n，则它的公差为(　 ) A．2 B．3 C．－2 D．－3 答案：C　 解析：∵an＝3－2n＝1＋(n－1)×(－2)， ∴d＝－2，故选C. 2．等差数列{an}：－3，－7，－11，…的一个通项公式为an＝________. 解析：a1＝－3，d＝a2－a1＝－7－(－3)＝－4，所以an＝a1＋(n－1)d＝－4n＋1. 答案：－4n＋1 3．已知数列{an}是等差数列，a1和a2的等差中项为1，a2和a3的等差中项为2，则公差d＝________. 答案：1 [题点一] 等差数列的通项公式及应用 [典例]　在等差数列{an}中， (1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； (2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求an. [方法技巧] 等差数列通项公式的求法与应用技巧 等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”． 2．已知数列{an}为等差数列，且公差为d. 若a15＝8，a60＝20，则a105的值为________． [题点二] 等差中项及其应用 [典例]　(1)已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是(　 ) A．2 B．3 C．6 D．9 (2)若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z的值为(　 ) A．26 B．29 C．39 D．52 [方法技巧] a，b，c成等差数列的条件是b＝(或2b＝a＋c)，这个条件可用来进行等差数列的判断或解有关等差中项的计算问题．如：若要证{an}为等差数列，则可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)． 2．已知数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，a1＝47，a6＝7，则a5等于________． 解析：由2an＝an－1＋an＋1(n≥2)知，数列{an}是等差数列，设公差为d，由a6＝a1＋5d，得d＝－8， 所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15. 答案：15 [方法技巧]　等差数列的判定与证明方法 定义法 an－an－1(n≥2，n∈N＋)为同一常数⇔{an}是等差数列 等差中项法 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N＋)成立⇔{an}是等差数列 (a＋c)(a＋c－2b)＝(a＋c)2－2b(a＋c)＝(a＋c)2－2×2ac＝a2＋c2＋2ac－4ac＝(a－c)2. ∵a＋c，a＋c－2b，a－c均为正数，上式左右两边同时取对数，得lg[(a＋c)(a＋c－2b)]＝lg(a－c)2，即lg(a