第1章 数列 章末小结与质量评价（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

开始 一、系统认知·形成数学思维 (一)贯通知识体系和联系 (二)把握数学思想和方法 1．通过研究问题的整体形式、整体结构，避免局部运算的困扰，达到简捷解决问题的目的；在等差(比)数列的运算中，能整体消元的一定要先化简再计算． 2．在处理数列求和问题时，若数列的通项公式分解为几个容易求和的部分，则对数列的前n项进行重新分解，分别求和． 3．数列是一类特殊的函数，所以可以借助函数的图象，通过数形结合解数列问题． 4．化归意识是把待解决的问题转化为能解决的问题的一种数学意识，包括将复杂式子化简达某一目地的对数学表达式进行变形，从目标入手进行分析等．将数列中的复杂问题进行转化，关键是找准方向，再利用已知等差或等比数列相关知识求解． 5．若等比数列的公比q的值不确定，求其前n项和时，要分q＝1和q≠1两种情况讨论；由前n项和公式Sn求通项an时，应分n＝1和n>1两种情况求解．这些都是分类讨论思想在本章的运用． 二、把握重点·常考题型集训 题型一　等差(比)数列的基本运算　 1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，a1＋a2＋a3＝3，a7＋a9＝10，则S9＝(　 ) A．9 B．16 C．20 D．27 答案：D 3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝1，S30＝7，则S40＝(　 ) A．5　　　 B．10　　　 C．15　　　 D．－20 答案：C　 解析：因为等比数列{an}的前n项和为Sn，S10＝1，S30＝7，所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，即1，S20－1,7－S20，S40－7成等比数列，所以(S20－1)2＝1×(7－S20)，解得S20＝3或S20＝－2(舍)，所以1,2,4，S40－7成等比数列，所以S40－7＝8，解得S40＝15，故选C. 4．若正项等比数列{an}中，a1a3＝a2，a5＝27，则该数列的公比为________． [题型技法] 当已知数列为等差数列或等比数列时，只需利用条件求出基本量(首项a1及公差d或公比q)即可．解题时一定要分清是等差数列还是等比数列，切不可张冠李戴．　　 题型三　数列求和　 7．已知数列{an}的前n项和为Sn，n∈N＋， 从条件①：a1＝－3；条件②：an＋1－an＝2；条件③：S2＝－4中选择两个作为已知，并完成解答． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设等比数列{bn}满足b2＝a4，b3＝a7，求数列{an＋bn}的前n项和Tn. 解：(1)(不能选择①③作为已知条件)若选择①②作为已知条件．因为a1＝－3，an＋1－an＝2， 所以数列{an}是以a1＝－3为首项，d＝2为公差的等差数列．所以an＝2n－5. 若选择②③作为已知条件． 因为an＋1－an＝2，所以数列{an}是以a1为首项，d＝2为公差的等差数列． “阶段综合检测”见“阶段综合检测（一）” (单击进入电子文档) 22 谢谢观看 解析：由a1＋a2＋a3＝3得a1＋a2＋a3＝3a2＝3，则a2＝1，由a7＋a9＝10得a7＋a9＝2a8＝10，则a8＝5，所以S9＝9×＝9×＝3×9＝27. 2．(多选)数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，已知a7＝5，S7＝21，则(　 ) A．a1＝1 B．d＝－ C．a2＋a12＝10 D．S10＝40 解析：设数列{an}的公差为d，则由已知得S7＝，即21＝，解得a1＝1.又a7＝a1＋6d，所以d＝.所以S10＝10a1＋d＝10＋×＝40.由{an}为等差数列，知a2＋a12＝2a7＝10. 答案：ACD　 解析：因为{an}是正项等比数列，可得q>0，且a1a3＝a2＝(a2)2，解得a2＝1或a2＝0(舍去)，因为q3＝＝＝27，所以q＝3，所以该数列的公比为3. 答案：3 题型二　等差(比)数列的判定与证明　 5．(2021·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知an>0，a2＝3a1，且数列{}是等差数列，证明：{an}是等差数列． 证明：设等差数列{}的公差为d′. 则d′＝－＝－＝－＝， ∴＝＋(n－1)d′＝＋(n－1)＝n，∴Sn＝n2a1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2a1－(n－1)2a1＝(2n－1)a1. ∴an－an－1＝(2n－1)a1－[2(n－1)－1]a1＝2a1， ∴数列{an}是以a1为首项，2a1为公差的等差数列． 6．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝. (1)求b1，b2，b3； (2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； (3)求{an}的通项公式． 解：(1)由条件可得an＋1＝an. 将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4. 将n＝2代入