1.3.3 等比数列的前n项和（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

开始 考查内容1 落实必备知识 01 02 03 目 录 考查内容2 强化关键能力 考查内容3·4 浸润学科素养和核心价值 2 1．3.3　等比数列的前n项和 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式及前n项和的性质． 2．理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系． 3．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题． 重点难点 重点：等比数列前n项和公式及性质的应用． 难点：掌握几种数列求和的方法. 第 1 课时　等比数列的前n项和及其性质 1．等比数列的前n项和公式 2．等比数列前n项和的性质 性质1 若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝A－Aqn(Aq≠0，q≠1)，则数列{an}是等比数列 性质2 若数列{an}为公比不为－1或公比为－1且n为奇数的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍构成等比数列 性质3 若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N＋) 续表 2．已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S5等于(　 ) A．93 B．－93 C．45 D．－45 答案：A　 3．在等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为(　 ) A．4 B．－4 C．2 D．－2 答案：A　 [方法技巧] 等比数列前n项和运算的注意点 (1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． 在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． 2．设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝3a3，则公比q的值为________． 　　　　 [题点二] 等比数列前n项和性质的应用 [典例]　(1)在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n. (2)一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数． [方法技巧] 解决有关等比数列前n项和的问题时，若能恰当地使用等比数列前n项和的相关性质，则可以避繁就简．不仅可以减少解题步骤，而且可以使运算简便，同时还可以避免对公比q的讨论．　　 [对点训练] 1．等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4为(　 ) A．28 B．32 C．21 D．28或－21 答案：A　 解析：∵{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列， 即7，S4－7,91－S4成等比数列，∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21. ∴S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2，∴S4＝28. 2．已知等比数列{an}中，前10项和S10＝10，前20项和S20＝30，求S30. 3．一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式． [题点三] 等比数列前n项和的实际应用问题 [典例]　某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生b人，以后学生人数年增长率为4.9‰.该校今年年初有旧实验设备a套，其中需要换掉的旧设备占了一半．学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年淘汰x套旧设备． (1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备是多少套？ (2)依照(1)的更换速度，共需多少年能换完所有需要更换的旧设备？ 下列数据供计算时参考： 1.19≈2.36 1.004 99≈1.04 1.110≈2.60 1.004 910≈1.05 1.111≈2.85 1.004 911≈1.06 [解]　(1)设今年有学生b人，则10年后学生人数为b(1＋4.9‰)10≈1.05b. 由题设可知，1年后的设备数量为a×(1＋10%)－x＝1.1a－x. 2年后的设备数量为(1.1a－x)×(1＋10%)－x＝1.12a－1.1x－x＝1.12a－x(1＋1.1)． …… [方法技巧] 解数列应用题的思路和方法 [对点训练] 　某电扇厂去年实现利润300万元，计划在以后5年中每年比上一年利润增长10%.问从今年起第5年的利润是多少？这5年的总利润是多少？(结果精确到1万元) 一、在典题训练中内化学科素养 等比数列求和是对数列研究的深入，数列求和的很多问题都与等比数列有关．对于等比数列求和问题，熟练掌握基本量之间的关系是关键，同时进一步强化与等差数列的综合．考查数学运算、