1.3.2 等比数列的性质及应用（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

开始 考查内容1 落实必备知识 01 02 03 目 录 考查内容2 强化关键能力 考查内容3·4 浸润学科素养和核心价值 2 第 2 课时　等比数列的性质及应用 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.能根据等比数列的定义，推出等比数列的常用性质． 2.能运用等比数列的性质简化计算． 重点难点 重点：等比数列的性质的应用． 难点：理解等比数列与指数函数的关系. 1．对称性 对有穷等比数列，与首末两端“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1an＝a2an－1＝a3an－2＝…＝am·an－m＋1(n>m且n，m∈N＋)； 特别地：①若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则______________； ②若m，p，n(m，p，n∈N＋)成等差数列，则am，ap，an成等比数列． ak·al＝am·an 2．子数列 (1)对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q； (2)若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为_____；(3)连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或qk2)的等比数列． qk pq 1．在等比数列{an}中，已知a1>0,8a2－a5＝0，则数列{an}为(　 ) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定单调性 答案：A 2．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　 ) A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列 答案：D 3．已知等比数列{an}中，a4＝2，则a1a2…a7＝(　 ) A．8 B．14 C．128 D．256 答案：C　 [方法技巧] 有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，先解出a1和q，然后利用通项公式求解．但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项的“下标”的指导作用．　　 2．已知在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝________. 灵活设元求解等比数列问题 [典例]　有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数． 答案：B　 2．有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数． [方法技巧] 数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有： (1)构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式求解； (2)通过归纳得到结论，再用数列知识求解．　　 一、在典题训练中内化学科素养 应用等比数列的性质可以简化运算，在高考中经常出现考查逻辑推理的核心素养． 1．(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝(　 ) A．16 B．8 C．4 D．2 答案：C　 2．(2022·新高考Ⅱ卷)已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4. (1)证明：a1＝b1； (2)求集合{k|bk＝am＋a1,1≤m≤500}中元素的个数． 解：(1)证明：设等差数列{an}的公差为d， 由a2－b2＝a3－b3，得a1＋d－2b1＝a1＋2d－4b1，即d＝2b1， 由a2－b2＝b4－a4，得a1＋d－2b1＝8b1－(a1＋3d)，即a1＝5b1－2d， 将d＝2b1代入，得a1＝5b1－2×2b1＝b1，即a1＝b1. (2)由(1)知an＝a1＋(n－1)d＝a1＋(n－1)×2b1＝(2n－1)a1，bn＝b1·2n－1， 由bk＝am＋a1，得b1·2k－1＝(2m－1)a1＋a1， 由a1＝b1≠0，得2k－1＝2m， 由题知1≤m≤500，所以2≤2m≤1 000，所以k＝2,3,4，…，10，共9个数，即集合{k|bk＝am＋a1,1≤m≤500}＝{2,3,4，…，10}中元素的个数为9. 答案：B　 2．在各项都为正数的等比数列{an}中，已知a1>1，其前n项积为Tn，且T15＝T8，则Tn取得最大值时，n的值是(　 ) A．10 B．10或11 C．11或12 D．12或13 答案：C　 解析：因为等比数列的前n项积为Tn，且T15＝T8，所以a9·a10·a11·a12·a13·a14·a15＝1，所以a＝1，所以a12＝1，又a1>1，所以当n≤11时，an>1，当n≥13时，0<an<1