1.3.1 等比数列的概念及通项公式（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

开始 考查内容1 落实必备知识 01 02 03 目 录 考查内容2 强化关键能力 考查内容3·4 浸润学科素养和核心价值 2 1．3.1&1.3.2　等比数列及其通项公式　等比数列与指数函数 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义． 2.灵活应用等比数列的通项公式，体会等比数列与指数函数的关系． 重点难点 重点：等比数列通项公式的应用． 难点：理解等比数列的概念 第 1 课时　等比数列的概念及通项公式 (一)等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第___项起，每一项与它的____一项之____都等于__________常数，那么这个数列称为等比数列，这个常数叫作等比数列的_______，公比通常用字母q表示． 2 前 比 同一个 公比 对等比数列概念的理解 (1)由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不能为0. (2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”．“每一项与它的前一项之比都等于同一个常数”，即比值相等，同时还要注意公比是每一项与其前一项之比，防止前后次序颠倒． (3)如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第n(n>3，n∈N＋)项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，那么此数列不是等比数列． (4)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比尽管是一个与n无关的常数，但却是不同的常数，那么此数列不是等比数列． (5)常数列都是等差数列，但却不一定是等比数列．当常数列是各项都为0的数列时，它就不是等比数列；当常数列各项不为0时，它是等比数列． (二)等比数列的通项公式 1．等比数列的通项公式 若等比数列{an}的首项为a1(a1≠0)，公比为q(q≠0)，则{an}的通项公式为an＝___________. a1qn－1 (1)在等比数列{an}中，任取相邻的三项an，an＋1，an＋2，则an＋1是an与an＋2的等比中项．如在等比数列1,2,4,8，…中，2n是2n－1与2n＋1的等比中项(n∈N＋)． (2)“a，G，b成等比数列”与“G2＝ab”是不等价的，前者可以推出后者，但后者不一定能推出前者．如G＝a＝0，b＝1，满足G2＝ab，而0,0,1不成等比数列． 2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为(　 ) A．4 B．8 C．6 D．32 答案：C　 解析：由等比数列的通项公式得，128＝4×2n－1,2n－1＝32，所以n＝6. [方法技巧] 等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解． 关于a1和q的求法通常有以下两种方法： (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法． (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．　　 [对点训练] 　在等比数列{an}中． (1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a5； (2)若an＝625，n＝4，q＝5，求a1； (3)若a4＝2，a7＝8，求an. [对点训练]　 1．在等比数列{an}中，a3a4a6a7＝81，则a1a9的值为(　 ) A．9 B．－9 C．±9 D．18 答案：A　 解析：因为{an}为等比数列，所以a3a7＝a4a6＝a1a9.所以(a1a9)2＝81，即a1a9＝±9. 因为在等比数列{an}中，奇数项(或偶数项)的符号相同，所以a1，a9同号，故a1a9＝9. 2．已知a是1,2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于(　 ) A．6 B．－6 C．±6 D．±12 答案：C　 [题点三] 等比数列的判定与证明 [典例]　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N＋)． (1)求证：{bn}是等比数列； (2)求{an}的通项公式． [解]　(1)证明：令an＋1＋k＝2(an＋k)， 即an＋1＝2an＋k，与an＋1＝2an＋1比较得k＝1. 又a1＋1＝2，bn＝an＋1， 故数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知，an＋1＝2·2n－1，∴an＝2n－1(n∈N＋)． [对点训练] (1)已知数列{cn}中，cn＝2n＋3n，且数列{cn＋1－pcn}为等比数列，求常数p； (2)设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明：数列{cn}不是等比数列． 解：(1)因为{cn＋1－pcn}是等比数列，所以(cn＋1－pcn)2＝(cn＋2－pcn