1.2.1 直线的点斜式方程（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）

1.2.1　直线的点斜式方程 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的点斜式. 2.了解直线的斜截式方程与一次函数的关系. 3.会利用直线的点斜式方程与斜截式解决有关问题. 重点难点 重点：直线的点斜式方程和斜截式. 难点：直线方程的灵活应用. （一）直线的点斜式方程 名称 点斜式方程 已知条件 直线l经过点P1(x1，y1)，且斜率为k 示意图 方程形式 y－y1＝k(x－x1) 适用条件 斜率存在 (1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P(x1，y1)和斜率k；②斜率必须存在.只有这两个条件都具备，才可以写出直线的点斜式方程. (2)方程y－y1＝k(x－x1)与方程k＝不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P(x1，y1)的一条直线. (3)当k取任意实数时，方程y－y1＝k(x－x1)表示恒过定点(x1，y1)的无数条直线. 1.判断正误 (1)直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)也可写成k＝.(　 ) (2)直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1，3).(　 ) 答案：(1)×　(2)√ 2.已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　 ) A.直线经过点(2，－1)，斜率为－1 B.直线经过点(1，－2)，斜率为－1 C.直线经过点(－2，－1)，斜率为1 D.直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 解析：选D　直线方程y＋2＝－x－1可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，所以过定点(－1，－2)，斜率为－1. （二）直线的斜截式方程 1.直线l的截距的定义 (1)直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b称为直线l在y轴上的截距. (2)直线l与x轴的交点(a，0)的横坐标a称为直线l在x轴上的截距. 2.直线的斜截式方程 名称 斜截式方程 已知条件 斜率k和直线在y轴上的截距b 示意图 方程形式 y＝kx＋b 适用条件 斜率存在 斜截式与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别，当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数；当k＝0时，y＝b不是一次函数，一次函数y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程.截距不是距离，可正、可负也可为零. 1.下面四个直线方程中，是直线的斜截式方程的是(　 ) A.x＝3 B.y＝3x－5 C.y－2＝3(x－1) D.x＝4y－1 解析：选B　直线的斜截式方程形式为y＝kx＋b，可知B中直线为斜截式方程. 2.如图，直线的方程是y＝kx＋b，则下列结论成立的是(　 ) A.k>0且b>0　　 B.k<0且b>0 C.k>0且b<0　　 D.k<0且b<0 解析：选B　由题图可知，直线y＝kx＋b的斜率k为负数，该直线在y轴上的截距为正数，即k<0且b>0. ————————————————————————————————— 直线的点斜式方程 —————————————————————————————————————— [典例]　根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)过点A(－4，3)，斜率k＝3； (2)经过点B(－1，4)，倾斜角为135°； (3)过点C(－1，2)，且与y轴平行； (4)过点D(2，1)和E(3，－4). [解]　(1)所求直线的点斜式方程为y－3＝3[x－(－4)]. (2)由题意知，直线的斜率k＝tan 135°＝－1，故所求直线的点斜式方程为y－4＝－[x－(－1)]. (3)∵直线与y轴平行，∴斜率不存在，∴直线的方程不能用点斜式表示.由于直线上所有点的横坐标都是－1，故这条直线的方程为x＝－1. (4)∵直线过点D(2，1)和E(3，－4)，∴斜率k＝＝－5.故所求直线的点斜式方程为y－1＝－5(x－2). [方法技巧] 求直线的点斜式方程的思路 [提醒]　只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程.　 [对点训练] 1.(多选)已知直线l的倾斜角为45°，且过点(1，2)，则在直线上的点是(　 ) A.(0，1) B.(－2，－1) C.(3，3) D.(3，2) 解析：选AB　直线的斜率k＝tan 45°＝1，方程为y－2＝x－1，即y＝x＋1，将A、B、C、D中各点代入知，A、B正确. 2.已知直线l过点P(，－1)，并且倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程. 解：∵直线y＝x的斜率为， ∴直线y＝x的倾斜角为60°， ∵直线l的倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍， ∴直线l的倾斜角为120°，即直线l的斜率为tan 120°＝－，又直线l过点P(，－1)，∴直线l的方程为y－(－1)＝－(x－)，即y＋1＝－(x－). —————————————————