第2章 圆与方程 章末小结与质量评价（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（苏教版2019）

一、系统认知·形成数学思维 (一)贯通知识体系和联系 (二)把握数学思想和方法 1.分类讨论思想：在解决直线与圆以及圆与圆的位置关系问题时，常常用到分类讨论的思想. 2.函数与方程思想：在直线与圆的问题中，如果利用几何法不好求解，那么可设变量，建立函数关系式，并利用函数思想求解.而判断直线与圆的位置关系以及求解直线与圆的交点时，通常联立方程构成方程组，既可以求解它们的交点坐标，也可以判断它们的位置关系. 3.数形结合思想：在求解直线与圆的位置关系的问题时，为避免计算量过大，可以应用数形结合思想，充分应用圆的性质解题. 4.对于圆的一些综合题，比如弦的中点问题常运用整体思想，整体思想就是在处理问题时利用问题中整体与部分的关系，灵活应用整体代入、整体运算、整体消元等方法. 二、把握重点·常考题型集训 题型一　圆的方程　 1.以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为(　 ) A.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 B.(x－1)2＋(y－1)2＝2 C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝8 D.(x－1)2＋(y－1)2＝8 解析：选B　直径的两端点分别为(0，2)，(2，0)，∴圆心为(1，1)，半径为，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2. 2.已知直线l：3x－4y－15＝0与圆C：x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0(r>0)相交于A，B两点，若AB＝6，则圆C的标准方程为(　 ) A.(x－1)2＋(y－2)2＝25 B.(x－1)2＋(y－2)2＝36 C.(x－1)2＋(y－2)2＝16 D.(x－1)2＋(y－2)2＝49 解析：选A　圆C：x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0可化为(x－1)2＋(y－2)2＝r2，设圆心(1，2)到直线l的距离为d，则d＝＝4，又AB＝6，根据r2＝32＋42＝25，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.故选A. 3.已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与圆(x－2)2＋(y－3)2＝8相外切，则圆C的方程为______________. 解析：由题意知圆心C(－1，0)，其到已知圆圆心(2，3)的距离d＝3，由两圆相外切可得R＋2＝d＝3，∴R＝.∴圆C的标准方程为(x＋1)2＋y2＝2. 答案：(x＋1)2＋y2＝2 4.求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆C的方程. 解：联立两圆的方程得方程组 相减得公共弦所在直线的方程为4x＋3y－2＝0. 再由解得两圆交点坐标为(－1，2)，(5，－6). ∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C是公共弦的中点(2，－2)，半径长为 ＝5. ∴圆C的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25. [题型技法] 利用待定系数法求圆的方程 (1)若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值. (2)若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，可选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，从而求出D，E，F的值.　　 题型二　直线与圆的位置关系　 5.直线x＋y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相交于A，B两点，则AB＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选D　∵圆心(1，2)到直线x＋y－2＝0的距离d＝，∴|AB|＝2＝，故选D. 6.若直线x－my＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则m的值为(　 ) A.1 B.±1 C.± D. 解析：选C　由x2＋y2－2x＝0，得圆心坐标为(1，0)，半径为1，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即＝1，解得m＝±. 7.(多选)已知ab≠0，O为坐标原点，点P(a，b)是圆x2＋y2＝r2外一点，过点P作直线l⊥OP，直线m的方程是ax＋by＝r2，则下列结论正确的是(　 ) A.m∥l B.m⊥l C.m与圆相离 D.m与圆相交 解析：选AD　∵直线OP的斜率为，∴直线l的斜率为－，∴直线l的方程为ax＋by＝a2＋b2.又点P(a，b)在圆外，∴a2＋b2>r2，故m∥l.圆心(0，0)到直线ax＋by＝r2的距离d＝<＝|r|，故m与圆相交.故选A、D. 8.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，直线l过定点A(1，0). (1)若l与圆C相切，求l的方程； (2)若l与圆C相交于P，Q两点，且PQ＝2，求此时直线l的方程. 解：(1)若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝1，符合题意. 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)， 即kx－y－k＝0. 由题意知，圆心(3，4)到直线l的距离等于2，即＝2，解得k＝，此时直线