1.1.4 两条直线的平行与垂直（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

1.4　两条直线的平行与垂直 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直． 2．能应用两条直线平行或垂直解决有关问题． 重点 难点 重点：直线平行与垂直关系的判断． 难点：直线平行和垂直关系的应用. 1．斜率与两条直线平行的关系 (1)对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2(其中b1≠b2)，l1∥l2⇔k1＝k2. (2)若直线l1与直线l2的斜率都不存在，则它们都是倾斜角为的直线，从而它们互相平行或重合． (1)利用“k1＝k2⇒l1∥l2”判定两条直线平行的前提条件是这两条直线的斜率都存在，且这两条直线不重合．反之，当l1∥l2时，未必有k1＝k2. (2)对于两条不重合的直线l1与l2，设它们的倾斜角分别为α1，α2，一个法向量分别为n1，n2，一个方向向量分别为v1，v2，则l1∥l2⇔α1＝α2⇔n1∥n2⇔n1＝λn2(λ为非零实数)⇔v1∥v2⇔v1＝μv2(μ为非零实数)，因此，我们除利用斜率来判断两直线是否平行外，还可以利用直线的倾斜角、法向量或方向向量来判断． 2．两条直线平行时，一般式中的系数关系 设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)． l1∥l2⇔或 1．已知过点A(m，－1)和B(2，m)的直线与直线x－y－1＝0平行，则m的值为(　 ) A. B．－ C．1 D．－1 解析：选A　因为直线x－y－1＝0的斜率为1，且与过点A和点B的直线平行，所以kAB＝＝1，解得m＝. 2．已知直线ax－(a＋1)y－1＝0与直线4x－6y＋3＝0平行，则实数a的值是____________． 解析：直线4x－6y＋3＝0的斜率为，在y轴上的截距为.由条件知直线ax－(a＋1)y－1＝0的斜率为，所以＝，a＝2，此时该直线在y轴上的截距为－≠，故a的值为2. 答案：2 1．斜率与两条直线垂直的关系 (1)对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1. (2)特别地，当l1，l2中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线垂直． 2．两条直线垂直时，一般式中系数的关系 设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 1．已知直线l1的斜率k1＝2，直线l2的斜率k2＝－，则l1与l2(　 ) A．平行 B．垂直 C．重合 D．非以上情况 解析：选B　根据斜率乘积为－1，可知两条直线垂直． 2．若直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，且l1⊥l2，则有(　 ) A．α1－α2＝90° B．α2－α1＝90° C．|α2－α1|＝90° D．α1＋α2＝180° 解析：选C　根据两条直线垂直，可知|α2－α1|＝90°. —————————————————————————————————— 判断两条直线平行或垂直 ————————————————————————————————————— [典例]　判断下列各组中的直线l1与l2是否平行或垂直： (1)l1：3x－4y－2＝0，l2：6x－8y＋1＝0； (2)l1：3x＋2y－1＝0，l2：6x＋4y－2＝0； (3)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)； (4)l1经过点A(3,4)，B(3,100)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)． [解]　(1)因为3×(－8)－(－4)×6＝0，而3×1－(－2)×6≠0，所以l1∥l2. (2)因为3×4－2×6＝0，而3×(－2)－(－1)×6＝0，所以l1，l2重合． (3)直线l1的斜率k1＝－10，直线l2的斜率k2＝＝，k1k2＝－1，故l1⊥l2. (4)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴．直线l2的斜率k2＝＝0，则l2∥x轴，故l1⊥l2. 1．判断两条直线平行的方法 (1)①若两条直线l1，l2的斜率都存在，将它们的方程都化成斜截式．如：l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则⇒l1∥l2. ②若两条直线l1，l2的斜率都不存在，将方程化成l1：x＝x1，l2：x＝x2，则x1≠x2⇒l1∥l2. (2)若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，由A1B2－A2B1＝0得到l1∥l2或l1，l2重合；排除两直线重合，就能判定两直线平行． 2．判断两直线垂直的方法 法一： 法二：若两条直线的方程均为一般式：l1：A1x＋B1y