1.1.3.1 直线方程的点斜式（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

1．3　直线的方程 第 1 课时　直线方程的点斜式 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的点斜式． 2.了解直线方程的斜截式与一次函数的关系． 3.会利用直线方程的点斜式与斜截式解决有关问题． 重点 难点 重点：直线方程的点斜式和斜截式． 难点：直线方程的灵活应用. 一直线方程的点斜式 1．直线的方程 一般地，如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个方程的解，并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，那么这个方程称为直线l的方程． 2．直线方程的点斜式 点斜式 已知条件 经过点P(x0，y0)且斜率为k 图示 方程形式 y－y0＝k(x－x0) 适用条件 斜率存在 (1)直线方程的点斜式的前提条件是：①已知一点P(x0，y0)和斜率k；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出直线方程的点斜式． (2)方程y－y0＝k(x－x0)与方程k＝不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P(x0，y0)的一条直线． (3)当k取任意实数时，方程y－y0＝k(x－x0)表示恒过定点(x0，y0)的无数条直线． 1．判断正误 (1)直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)也可写成k＝.(　 ) (2)直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1,3)．(　 ) 答案：(1)×　(2)√ 2．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　 ) A．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 B．直线经过点(1，－2)，斜率为－1 C．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 D．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 解析：选D　直线方程y＋2＝－x－1可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，所以过定点(－1，－2)，斜率为－1. 斜截式 已知条件 经过点(0，b)且斜率为k 图示 方程形式 y＝kx＋b 适用条件 斜率存在 斜截式与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别，当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数；当k＝0时，y＝b不是一次函数，一次函数y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线方程的斜截式．截距不是距离，可正、可负也可为零． 1．下面四个直线方程中，是直线方程的斜截式的是(　 ) A．x＝3 B．y＝3x－5 C．y－2＝3(x－1) D．x＝4y－1 解析：选B　直线方程的斜截式形式为y＝kx＋b，可知B中直线为斜截式方程． 2.如图中直线的方程是y＝kx＋b，则下列结论成立的是(　 ) A．k>0且b>0 B．k<0且b>0 C．k>0且b<0 D．k<0且b<0 解析：选B　由题图可知，直线y＝kx＋b的斜率k为负数，该直线在y轴上的截距为正数，即k<0且b>0. —————————————————————————————————— 直线方程的点斜式 —————————————————————————————————————— [典例]　根据条件写出下列直线方程的点斜式： (1)过点A(－4,3)，斜率k＝3； (2)经过点B(－1,4)，倾斜角为135°； (3)过点C(－1,2)，且与y轴平行； (4)过点D(2,1)和E(3，－4)． [解]　(1)所求直线方程的点斜式为y－3＝3[x－(－4)]． (2)由题意知，直线的斜率k＝tan 135°＝－1，故所求直线方程的点斜式为y－4＝－[x－(－1)]． (3)∵直线与y轴平行，∴斜率不存在，∴直线的方程不能用点斜式表示．由于直线上所有点的横坐标都是－1，故这条直线的方程为x＝－1. (4)∵直线过点D(2,1)和E(3，－4)，∴斜率k＝＝－5.故所求直线方程的点斜式为y－1＝－5(x－2)． 求直线方程的点斜式的思路 　　 [对点训练] 1．与向量a＝平行，且经过点的直线方程为(　 ) A．y＝x－ B．y＝－x－ C．y＝x－18 D．y＝－x＋10 解析：选A　依题意可知，所求直线的斜率为，所以所求直线的方程为y＋4＝(x－4)，即y＝x－. 2．求满足下列条件的直线的点斜式方程． (1)过点P(－3，－1)，斜率k＝； (2)过点P(0,5)，且与x轴垂直； (3)过点P(，1)，倾斜角是120°. 解：(1)∵直线过点P(－3，－1)，斜率k＝，∴直线的点斜式方程为y＋1＝(x＋3)． (2)∵与x轴垂直的直线，其斜率不存在，∴直线的方程为x＝0. (3)∵直线的倾斜角是120°，∴k＝tan 120°＝－.又直线过点P(，1)，∴直线的点斜式方程为y－1＝－(x－)． ————————————————————————————————— 直线方程的斜截式 —————————————————————————————————————