2.4.1 直线与圆锥曲线的交点（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

4．1　直线与圆锥曲线的交点 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.会用代数法来判断直线与圆锥曲线交点的个数． 2.会由直线与圆锥曲线的交点个数求参数的范围． 重点 难点 重点：判断直线与圆锥曲线的交点个数． 难点：根据直线与圆锥曲线的交点个数求参数的范围. 1．直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程. 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ＝0 相离 无解 Δ<0 2．直线y＝kx＋m与双曲线－＝1(a>0，b>0)的位置关系： 把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为Ax2＋Bx＋C＝0的形式，在A≠0的情况下考察方程的判别式． (1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点． (2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点． (3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点． 当A＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点． 3．直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p>0)的位置关系： 将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0. (1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点． (2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． (1)直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支． (2)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件． (3)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况． 1．直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的位置关系是(　 ) A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 解析：选C　联立消去y，得3x2＋2x－1＝0，因为Δ＝22＋12＝16＞0，所以直线与椭圆相交． 2．过抛物线y2＝x焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，AB⊥x轴，若点A在第一象限，则点A的坐标为(　 ) A. B. C．(1,1) D. 解析：选B　因为抛物线y2＝x的焦点坐标为F，由题意可知，直线AB的方程为x＝， 联立方程解得y＝±，由于点A在第一象限，所以A的坐标为. ———————————————————————————————— 直线与椭圆的交点问题 ———————————————————————————————————— [典例]　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点． [解]　直线l的方程与椭圆C的方程联立， 得方程组消去y，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0　①. 方程①的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程①有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个公共点． (2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点． (3)当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点． 判断直线与椭圆的位置关系，可以直接由直线方程和椭圆方程联立后，通过消元得到关于x(或y)的一元二次方程，然后利用判别式判断即可；有些题目也可注意直线所恒过的点与椭圆的位置关系，从而得到所求范围．　　 [对点训练] 已知点M(，)在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，且椭圆的离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l：y＝x＋m与椭圆C交于A，B两点，求实数m的取值范围． 解：(1)∵点M(，)在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，且椭圆的离心率为，∴解得a2＝12，b2＝4，∴椭圆C的方程为＋＝1. (2)∵直线l：y＝x＋m与椭圆C交于A，B两点， 由得4x2＋6mx＋3m2－12＝0， ∴Δ＝(6m)2－4×4×(3m2－12)>0，即m2－16<0，∴－4<m<4. ∴实数m的取值范围为(－4,4)． —————————————————————————————————— 直线与双曲线的交点问题 —————————————————————————————————————— [典例]　设k为实数，已知双曲线C的方程为－y2＝1，直线l的方程是y＝kx＋1.当k为何值时，直线l与双曲线C： (1)有两个公共点； (2)仅有一个公共点； (3)没有公共点． [解]　(1)由双曲线C的方程为－y2＝1，得x≥2或x≤－2， 由直线l的方程是y＝kx＋1，