检测评价18 直线与圆锥曲线的交点（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

5 / 5 “四翼”检测评价（十八） 直线与圆锥曲线的交点 (一)基础落实 1．已知椭圆＋＝1，直线l：x＋my－m＝0(m∈R)，直线l与椭圆的位置关系是(　 ) A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 解析：选C　由题意知，x＋my－m＝0(m∈R)恒过点(0,1)，∵＋<1，∴点(0,1)在椭圆内部，∴直线l与椭圆相交． 2．过点(0,1)且与抛物线y2＝x只有一个公共点的直线有(　 ) A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 解析：选C　∵点(0,1)在抛物线的外部，∴过点(0,1)且与抛物线只有一个公共点的直线有2条切线，1条交线． 3．经过点P且与椭圆＋y2＝1相切的直线方程是(　 ) A．x＋2y－4＝0 B．x－2y－4＝0 C．x＋2y－2＝0 D．x－2y＋2＝0 解析：选A　显然当x＝1时，直线与椭圆有两个交点，不符合题意；当斜率k存在时，设直线方程为y－＝k(x－1)，联立得(1＋4k2)x2＋4k(－2k)x＋4k2－4k－1＝0，由直线与椭圆相切，得Δ＝0，即[4k(－2k)]2－4×(1＋4k2)×(4k2－4k－1)＝0，解得k＝－，∴切线方程为x＋2y－4＝0，故选A. 4．若直线y＝kx＋b与椭圆＋＝1恒有两个公共点，则b的取值范围为(　 ) A．(－2,2)　B．(0,2) C．(4,5)　D．(6,8) 解析：选A　∵直线y＝kx＋b恒过定点(0，b)，且直线y＝kx＋b与椭圆＋＝1恒有两个公共点，∴点(0，b)在椭圆＋＝1内部，∴<1，∴－2<b<2. 5．若直线l：x－2y＝0与双曲线x2－ay2＝4(a>0)的右支仅有一个公共点，则a的取值范围是(　 ) A．(4，＋∞) B．[4，＋∞) C．(0,4) D．(0,4] 解析：选C　由双曲线方程为x2－ay2＝4(a>0)，可得渐近线方程为x＝±y，由直线方程l：x－2y＝0与双曲线的右支仅有一个公共点，可得<2，解得0<a<4，故选C. 6．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是________． 解析：∵＋＝1表示椭圆，∴m>0且m≠3. 由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0，∴Δ＝16m2－4m(m＋3)>0， 解得m>1或m<0.∴m>1且m≠3，∴m的取值范围是(1,3)∪(3，＋∞)． 答案：(1,3)∪(3，＋∞) 7．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是________． 解析：法一：设与抛物线相切的直线，且与直线4x＋3y－8＝0平行的直线方程为4x＋3y＋m＝0.与抛物线y＝－x2联立，消去y可得3x2－4x－m＝0，由题意知，Δ＝16＋12m＝0，∴m＝－.∴最小值为两平行线之间的距离d＝＝. 法二：设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)，该点到直线4x＋3y－8＝0的距离为，当m＝时，取得最小值. 答案： 8．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝2x有交点，则双曲线的离心率的取值范围是________． 解析：双曲线在第一、三象限的渐近线的斜率k＝，要使双曲线－＝1和直线y＝2x有交点，只要满足>2即可，∴>2，∴>2，∴e>. 答案：(，＋∞) 9．设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F作平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B.求： (1)B点坐标； (2)△AFB的面积． 解：(1)双曲线－＝1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y＝±x. 不妨设直线FB的方程为y＝(x－5)，代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9， 解得x＝，y＝－，∴B.由双曲线的对称性知B或. (2)∵B，∴S△AFB＝|AF||yB|＝(c－a)·|yB|＝×(5－3)×＝. 10．已知椭圆＋＝1(a>b>0)过点，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的上顶点作直线l交抛物线x2＝2y于A，B两点，O为坐标原点．求证：OA⊥OB. 解：(1)∵e2＝＝1－＝，∴＝.又＋＝1，∴a＝2，b＝， ∴椭圆的标准方程为＋＝1. (2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意可知直线l的斜率一定存在，设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋2，联立方程消去y可得x2－2kx－4＝0，Δ>0， ∴x1x2＝－4，∴y1y2＝·＝4，∴x1x2＋y1y2＝－4＋4＝0，∴·＝0，∴OA⊥OB. (二)综合应用 1．以F1(－1,0)，F2(1,0)为焦点且与直线x－y＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是(　 ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：选C　由题意设椭圆方程为＋＝1，由得(2b2＋1)x2＋6(b2＋1)x＋8b2＋9－b4＝0，由Δ≥0