检测评价9 圆的一般方程（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

5 / 5 “四翼”检测评价（九） 圆的一般方程 (一)基础落实 1．如果圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)关于直线 y＝x对称，则有(　 ) A．D＋E＝0 B．D＝E C．D＝F D．E＝F 解析：选B　由圆的对称性知，圆心在直线y＝x上，故有－＝－，即D＝E. 2．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的周长等于(　 ) A.π B．2π C．2π D．4π 解析：选C　因为圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0化为标准方程得(x－1)2＋(y＋3)2＝2，所以圆的半径是，则圆的周长等于2π. 3．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为，则a＝(　 ) A．0或－1 B．0 C．7 D．－1或7 解析：选D　将x2＋y2－2x－8y＋13＝0整理得(x－1)2＋(y－4)2＝4，所以圆的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝＝，整理得a2－6a－7＝0，解得a＝－1或a＝7. 4．过三个点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝(　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选C　设过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则解得故圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.令x＝0，得y2＋4y－20＝0，设M(0，y1)，N(0，y2)，则|MN|＝|y1－y2|＝＝4.故选C. 5．已知CD为圆A：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的一条弦，且以CD为直径的圆始终经过原点O，则CD中点B的轨迹方程为(　 ) A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＋x＋y－1＝0 C．x2＋y2＋x－1＝0 D．x2＋y2＋x＋y＝0 解析：选B　由题意可得AB⊥CD，如图，连接AC，则AC＝2，则4＝AB2＋2＝AB2＋OB2，由圆A：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4可知A(－1，－1)．设B(x，y)，则(x＋1)2＋(y＋1)2＋x2＋y2＝4，化简得x2＋y2＋x＋y－1＝0，即点B的轨迹方程为x2＋y2＋x＋y－1＝0. 6．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A(0,1)，则点B的坐标为____________． 解析：由x2＋y2－2x＋2y－3＝0，得(x－1)2＋(y＋1)2＝5，所以圆心C(1，－1)．设B(x0，y0)，又A(0,1)，由中点坐标公式得解得所以点B的坐标为(2，－3)． 答案：(2，－3) 7．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的一般方程为____________． 解析：设圆C的圆心坐标为(a,0)(a＞0)，由题意，得＝，解得a＝2(a＝－2舍去)，所以圆C的半径为＝3，所以圆C的方程为x2＋y2－4x－5＝0. 答案：x2＋y2－4x－5＝0 8．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC的面积的最小值是________． 解析：|AB|＝＝2，又AB的方程为＋＝1，即x－y＋2＝0，圆x2＋y2－2x＝0上的点到直线距离的最小值为d＝－1＝，故S△ABC的最小值为×2×＝3－. 答案：3－ 9．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一个圆． (1)求t的取值范围； (2)求这个圆的圆心坐标和半径； (3)求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程． 解：(1)圆的方程化为[x－(t＋3)]2＋[y＋(1－4t2)]2＝1＋6t－7t2.由7t2－6t－1＜0，得－＜t＜1.故t的取值范围是. (2)由(1)知，圆的圆心坐标为(t＋3,4t2－1)，半径为. (3)r＝＝≤. ∴r的最大值为，此时t＝，圆的标准方程为2＋2＝. 10．已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，及点Q(－2,3)． (1)P(a，a＋1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率； (2)若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值． 解：(1)∵点P(a，a＋1)在圆上，∴a2＋(a＋1)2－4a－14(a＋1)＋45＝0， ∴a＝4，P(4,5)，∴|PQ|＝＝2，kPQ＝＝. (2)∵圆心C的坐标为(2,7)， ∴|QC|＝＝4， 又圆的半径是2，∴点Q在圆外，∴|MQ|max＝4＋2＝6，|MQ|min＝4－2＝2. (二)综合应用 1．(多选)关于方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆，下列叙述正确的是(　 ) A．圆心在直线y＝－x上 　　 B．圆心在直线y＝x上 C．圆过原点 　　 D．圆的半径为|a| 解析：选ACD　圆x2＋y2＋2ax－2ay＝0可化为(x＋a)2＋(y－a