检测评价7 平面直角坐标系中的距离公式（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

5 / 5 “四翼”检测评价（七） 平面直角坐标系中的距离公式 (一)基础落实 1．点(1,1)到直线ax＋2y＋2＝0的距离为2，则a的值为(　 ) A．0 B. C．0或 D．0或－ 解析：选C　点(1,1)到直线ax＋2y＋2＝0的距离为＝2，解得a＝0或a＝. 2．如果两直线l1：3x＋y－3＝0与l2：6x＋my＋1＝0互相平行，那么它们之间的距离为(　 ) A．4 B. C. D. 解析：选D　由题意，得3m－6＝0且3＋18≠0，解得m＝2，故直线l1：6x＋2y－6＝0与l2：6x＋2y＋1＝0它们之间的距离为＝. 3．已知坐标原点到直线x＋y＋a＝0的距离小于，则实数a的取值范围为(　 ) A．(－2,2) B．[－2,2] C．[－，] D．(－，) 解析：选A　由点到直线的距离公式知， <，解得－2<a<2， 故实数a的取值范围为(－2,2)． 4．(多选)已知直线y＝2x与x＋y＋a＝0交于点P(1，b)，则(　 ) A．a＝－3 B．b＝2 C．点P到直线ax＋by＋3＝0的距离为 D．点P到直线ax＋by＋3＝0的距离为 解析：选ABD　由题意，得解得a＝－3，b＝2，故A、B正确； 所以(1,2)到直线－3x＋2y＋3＝0的距离d＝＝，故C错误，D正确． 5．已知点A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，则△ABC的面积等于(　 ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选C　设AB边上的高为h，则S△ABC＝|AB|·h.|AB|＝＝2，AB边上的高h就是点C到直线AB的距离．AB边所在的直线方程为＝，即x＋y－4＝0.点C到直线x＋y－4＝0的距离为＝，因此，S△ABC＝×2×＝5. 6．点P(3,1)到直线y＝2的距离为________，到x＝2的距离为________． 解析：点P到直线y＝2的距离d1＝|2－1|＝1， 到直线x＝2的距离d2＝|3－2|＝1. 答案：1　1 7．我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念．数学中根据不同定义有好多种距离．平面上，欧几里得距离是A(x1，y1)与B(x2，y2)两点间的直线距离，即dAB＝.切比雪夫距离是A(x1，y1)与B(x2，y2)两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即d′AB＝max{|x1－x2|，|y1－y2|}．已知P是直线l：2x＋y－15＝0上的动点，当P与O(O为坐标原点)两点之间的欧几里得距离最小时，其切比雪夫距离为________． 解析：因为点P是直线l：2x＋y－15＝0上的动点，要使|OP|最小，则OP⊥l，此时kl＝－2，所以kPO＝.由方程组解得x＝6，y＝3.所以P，O两点之间的切比雪夫距离为6. 答案：6 8．点(0,2)到直线y＝k(x＋2)距离的最大值为______． 解析：因为直线y＝k(x＋2)显然过定点(－2,0)，设A(－2,0)，B(0,2)，如图，连接AB. 若AB⊥l，则点(0,2)到直线y＝k(x＋2)的距离为d＝|AB|＝2； 若AB不垂直l，则点(0,2)到直线y＝k(x＋2)的距离d必小于|AB|. 综上，点(0,2)到直线y＝k(x＋2)距离的最大值dmax＝|AB|＝2. 答案：2 9．已知直线l：(3m＋1)x＋(1－m)y－4＝0. (1)证明：直线l过某定点，并求出该定点坐标； (2)若m＝0，试求过点(－2，－4)且与直线l平行的直线l′的方程，并求出两平行线间的距离． 解：(1)证明：直线(3m＋1)x＋(1－m)y－4＝0可变形为(x＋y－4)＋m(3x－y)＝0，令解得x＝1，y＝3，所以直线l过定点(1,3)． (2)若m＝0，则x＋y－4＝0，∴直线l的斜率为－1，∴直线l′的方程为y＝－(x＋2)－4， 即x＋y＋6＝0，∴两平行线间的距离d＝＝5 . 10.某工厂M(看作一点)位于两条高速公路(看作两条直线)OA与OB之间．已知M(15，9)，∠AOB＝60°，以O为坐标原点，直线OA为x轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求直线OB的方程； (2)现紧贴工厂M修建一条公路(看作直线)连接高速公路OA和OB，与OA的连接点为C，与OB的连接点为D，且M恰为线段CD的中点，求线段CD的长． 解：(1)因为∠AOB＝60°，所以直线OB的斜率k＝tan 60°＝.所以直线OB的方程为y＝x. (2)设C(x1,0)，D(x2，y2)，因为M(15，9)为线段CD的中点，且D在OB上，所以解得所以|CD|＝＝36.即线段CD的长为36. (二)综合应用 1．已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所