1.2.1 空间中的点、直线与空间向量（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

1．2.1　空间中的点、直线与空间向量 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.了解空间中的点、直线与空间向量． 2.掌握空间中两条直线所成的角并能求解． 3.能够利用空间向量研究异面直线． 重点 难点 重点：利用空间向量求异面直线所成的角． 难点：理解两条直线所成的角及异面直线所成的角. (一)空间中的点、直线与空间向量 位置向量 如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量唯一确定.称为点P的位置向量．任意一点的位置向量具有唯一性 直线的 方向向量 若l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量．①条件：表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合．②记法：称v为直线l的一个方向向量，记作v∥l 空间向量 与直线 如果v1是直线l1的一个方向向量，v2是直线l2的一个方向向量，则v1∥v2⇔l1∥l2或l1与l2重合 (1)在空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与直线l平行或重合． (2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个． (3)给定空间中任意一点A和非零向量a，就可以确定唯一一条过点A且平行于向量a的直线． 1．判断正误 (1)空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定，从而也就由它的坐标唯一确定．(　 ) (2)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．(　 ) 答案：(1)√　(2)√ 2．若A(1,2，－1)，B(1，－1,3)是空间直线l上的两点，下列向量可以作为直线l的方向向量的是(　 ) A．v＝(0,1,4) B．v＝(0，－3，－4) C．v＝(0，－3,4) D．v＝(2,1，－4) 答案：C 3．若v1＝(1,1,0)，v2＝(－3，－3,0)分别是两条不重合的直线l1，l2的方向向量，则直线l1与l2的位置关系是________． 解析：因为－3v1＝v2，所以两向量共线，因此l1∥l2. 答案：l1∥l2 (二)空间中两条直线所成的角 设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，则有： (1)θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉； (2)sin θ＝sin〈v1，v2〉，cos θ＝|cos〈v1，v2〉|； (3)l1⊥l2⇔〈v1，v2〉＝⇔v1·v2＝0. 1．判断正误 (1)空间中两条相交直线所成角的大小，指的是它们相交所得到的不大于直角的角的大小．(　 ) (2)两条直线的方向向量的夹角等于两条直线的夹角．(　 ) 答案：(1)√　(2)× 2．已知v1＝(1,2,3)，v2＝(3,6,9)分别是空间中直线l1，l2的方向向量，则直线l1，l2所成的角等于(　 ) A．0 B. C. D. 解析：选A　因为3v1＝v2，即v1∥v2，所以直线l1，l2所成的角等于0. 3．已知v1＝(1,1,0)，v2＝(0，－1,1)分别是空间中直线l1，l2的方向向量，则两直线所成角的正弦值等于________． 解析：因为cos〈v1，v2〉＝＝－，所以两直线的方向向量的夹角为120°，则两直线的夹角为60°，所以两直线所成角的正弦值等于. 答案： (三)异面直线与空间向量 (1)设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量． ①如果l1与l2异面，则v1与v2是不可能平行的； ②如果v1与v2不平行，则l1与l2可能异面，也可能相交． (2)两异面直线的公垂线段 如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l2，则称MN为l1与l2的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离． 1．已知v1与v2分别是直线l1，l2的方向向量，A∈l1，B∈l2，则“l1与l2异面”是“v1，v2，不共面”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 2.如图，底面为矩形的四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，连接BD，则异面直线PD与BC的公垂线段是(　 ) A．BD B．PB C．DC D．不存在 解析：选C　由底面ABCD为矩形，可得DC⊥BC，又因为PD⊥底面ABCD.所以PD⊥DC，故DC为异面直线PD与BC的公垂线段． [题点一] 空间中点的位置的确定 [典例]　已知O是坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A(3,4,0)，B(2,5,5)，C(0,3,5)． (1)若＝(－)，求P点的坐标； (2)若P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，求P点的坐标． [解]　(1)∵＝(－1,1,5)，＝(－3，－1,5)， ∴＝(－)＝(2,2,0)＝(1,1