1.2.4 二面角（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

1．2.4　二面角 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.掌握二面角的概念及二面角的平面角的定义． 2．会找一些简单图形中的二面角的平面角． 重点 难点 重点：会求二面角的平面角． 难点：理解二面角与二面角的平面角. 　 (一)二面角及其度量 1．二面角及其平面角 半平面 平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分称为一个半平面 二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作α-l-β，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作A-l-B 平面角 在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角 2．二面角的度量 二面角的大小用它的平面角大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小．特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角． 本书中，我们约定，二面角及其平面角的大小不小于0°，不大于180°.而且，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于0°且不大于90°的角的大小．这样约定后，一个二面角的大小及两个相交平面所成角的大小都是唯一确定的． 1．(多选)如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系可能是(　 ) A．相等 B．互补 C．互余 D．不能确定 解析：选AB　由二面角的概念知，这两个二面角大小相等或互补． 2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A1-BC-A的余弦值为(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　易知∠A1BA为二面角A1 -BC-A的平面角，cos∠A1BA＝＝. (二)用空间向量求二面角的大小 如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ，则θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，特别地，sin θ＝sin〈n1，n2〉． 1．(多选)已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小可能为(　 ) A．45° B．135° C．180° D．90° 答案：AB 2．已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为________． 解析：由题得＝(－1,2,0)，＝(－1,0,3)．设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)． 由知令x＝2，得y＝1，z＝，则平面ABC的一个法向量为n＝.平面xOy的一个法向量为＝(0,0,3)．由此易求出所求锐二面角的余弦值为|cos θ|＝＝＝. 答案： [题点一] 用定义法求二面角 　[典例]　如图，ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VA＝VB＝VC＝AB，求二面角A-VB-C的余弦值． [解]　取VB的中点为E，连接AE，CE，如图．∵VA＝VB＝VC＝AB， ∴AE⊥VB，CE⊥VB. ∴∠AEC是二面角A-VB-C的平面角． 设AB＝a，连接AC，在△AEC中， AE＝EC＝a，AC＝a， 由余弦定理可知： cos∠AEC＝＝－， ∴所求二面角A-VB-C的余弦值为－. [方法技巧] 用定义法求二面角的步骤 (1)作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用三垂线定理)； (2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角； (3)解三角形求角. 　　 [对点训练] 如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD. (1)证明：AB⊥平面VAD； (2)求平面VAD与平面VDB夹角的正切值． 解：(1)证明：∵平面VAD⊥平面ABCD，交线为AD. AB⊂平面ABCD，AB⊥AD.∴AB⊥平面VAD. (2)如图，取VD的中点E，连接AE，BE. ∵△VAD是正三角形， ∴AE⊥VD，AE＝AD. ∵AB⊥平面VAD，∴AB⊥AE. 又由三垂线定理知BE⊥VD. 因此，∠AEB是所求二面角的平面角． 于是tan∠AEB＝＝， 即平面VAD与平面VDB夹角的正切值为. [题点二] 用向量法求二面角 　[典例]　如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形． (1)证明：O1O⊥底面ABCD； (2)若∠CBA＝60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值． [解]　(1)证明：因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD， 又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD， 因为AC∩BD＝O，所以O1