1.2.3 直线与平面的夹角（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

1.2.3　直线与平面的夹角 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.理解斜线和平面所成的角的定义． 2.会求直线与平面的夹角． 重点 难点 重点：会求直线与平面的夹角，掌握两种方法(定义法，空间向量法) 难点：理解最小角定理并会应用. (一)直线与平面的夹角 1．直线与平面的夹角 (1)如果一条直线与一个平面垂直，则称这条直线与这个平面所成的角为90°； (2)如果一条直线与一个平面平行，或直线在平面内，则称这条直线与这个平面所成的角为0°； (3)平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，称为这条斜线与平面所成的角； (4)直线与平面所成角的范围是0°≤θ≤90°. 2．最小角定理 (1)线线角、线面角的关系式： 如图，OB是OA在平面α内的射影，OM⊂α，θ是OA与OM所成的角，θ1是OA与OB所成的角，θ2是OB与OM所成的角，则cos θ＝cos_θ1cos_θ2. (2)最小角定理： 平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角． 设向量在平面α内的射影为，且直线AB与平面α的夹角为θ，则〈，〉＝θ，||＝||·cos θ. 1．判断正误 (1)直线与平面的夹角不是锐角就是直角．(　 ) (2)经过平面外同一点所作的平面的多条斜线中，斜线段长、射影长及斜线与平面所成的角，只要有一个相等，则另外两个也对应相等．(　 ) 答案：(1)×　(2)√ 2．正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为侧面BCC1B1的中心，则AO与平面ABCD所成角的正弦值为________． 解析：如图，取BC中点M，连接AM，OM，易知∠OAM即为AO与平面ABCD所成的角，可求得sin∠OAM＝. 答案： (二)用空间向量求直线与平面的夹角 如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ，则有： (1)θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－. (2)cos θ＝sin〈v，n〉或sin θ＝|cos〈v，n〉|. 1．判断正误 (1)直线l与平面α的法向量的夹角的余角就是直线l与平面α所成的角．(　 ) (2)当一条直线l与一个平面α的夹角为0°时，这条直线不一定在平面内．(　 ) 答案：(1)×　(2)√ 2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　 ) A．120°　　　　　 B．60° C．30° D．以上均错 解析：选C　设直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 120°|＝，又∵0≤θ≤90°，∴θ＝30°. 3.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线A1B与平面BDE所成的角为(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　以D为原点，，，的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系(图略)， 则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，E， ∴＝(1,1,0)，＝， 易得平面BDE的法向量n＝(1，－1,2)，而＝(0，－1，1)， ∴cos〈n，〉＝＝，∴〈n，〉＝. ∴直线A1B与平面BDE所成的角为＝. [题点一] 定义法求直线与平面的夹角 [典例]　如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°. 　　　　 (1)求证：BC⊥平面PAC； (2)若D为PB的中点，试求AD与平面PAC夹角的正弦值． [解]　(1)证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以PA⊥BC.又∠BCA＝90°，所以AC⊥BC， 又AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，PA∩AC＝A， 所以BC⊥平面PAC. (2)取PC的中点E，连接AE，DE，如图． 因为D为PB的中点， 所以DE∥BC， 所以DE⊥平面PAC， 所以AE是AD在平面PAC内的射影， 所以∠DAE是直线AD与平面PAC的夹角． 设PA＝AB＝a，在Rt△ABC中， 因为∠ABC＝60°，∠BCA＝90°， 所以BC＝，DE＝， 在Rt△ABP中，AD＝a， 所以sin∠DAE＝＝＝. 即AD与平面PAC夹角的正弦值为. [拓展] 　若本例(2)条件不变，求AD与平面PBC夹角的正弦值，结果如何？ 解：由例题(1)知BC⊥平面PAC， 所以平面PAC⊥平面PBC. 过A作AE⊥PC，所以AE⊥平面PBC. 连接ED，如图，则∠ADE为AD与平面PBC的夹角． 设PA＝AB＝2a，所以PB＝2a. 故AD＝a.在△APC中，AP＝2a， AC＝AB·sin 60°＝2a×＝a， 所以PC＝＝a，设∠ACP＝θ， 则AE＝AC·sin θ＝AC×＝a×＝a＝a，所以sin∠ADE＝＝＝. 即AD与平面PBC夹角的正弦值为. [