检测评价3 空间向量基本定理（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

6 / 6 “四翼”检测评价（三）空间向量基本定理 (一)基础落实 1．对于空间中任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是(　 ) A．共面向量　　　　 B．共线向量 C．不共面向量 D．既不共线也不共面向量 解析：选A　由共面向量定理易得答案A. 2．设a，b是不共线的两个向量，λ，μ∈R，且λa＋μb＝0，则(　 ) A．λ＝μ＝0 B．a＝b＝0 C．λ＝0，b＝0 D．μ＝0，a＝0 解析：选A　因为a，b不共线，所以a，b均为非零向量，又因为λa＋μb＝0，所以λ＝μ＝0. 3．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一组基底的一组向量是(　 ) A．3a，a－b，a＋2b B．2b，b－2a，b＋2a C．a,2b，b－c D．c，a＋c，a－c 解析：选C　因为a，b，c不共面，故a,2b，b－c也不共面，能构成空间的一组基底．其他选项皆共面． 4.如图，四棱锥P-OABC的底面是矩形，若＝a，＝b，＝c，E是PC的中点，则(　 ) A.＝－a－b＋c B.＝－a－b＋c C.＝－a＋b＋c D.＝－a－b－c 解析：选B　∵四棱锥P-OABC的底面是矩形，＝a，＝b，＝c，E是PC的中点，∴＝＋＝－＋＝－a＋(＋)＝－a＋(－＋)＝－a－b＋c. 5.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是DC，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是(　 ) A．0　B.　C.　D. 解析：选A　取{，，}为空间的一组基底．根据题意，可得·＝(＋＋)·(＋＋)＝·＝2－2－2＝×4－1－×4＝0，所以和垂直，即A1E⊥GF，故A1E与GF所成角的余弦值为0. 6．在空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a－5b＋8c，对角线AC，BD的中点分别是E，F，则＝________. 解析：＝(＋)＝(＋)＋(＋)＝＋＋＋＋＋＝(＋)＝3a－b＋3c. 答案：3a－b＋3c 7．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＋y＝________. 解析：∵m与n共线，设n＝λm(λ∈R)，则xa＋yb＋c＝λa－λb＋λc，即∴x＝1，y＝－1，则x＋y＝0. 答案：0 8.在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，Q是CA′上的点，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示下列各向量： (1)＝________；(2)＝________. 解析：连接AC，AD′(图略)． (1)＝＝＝(a＋b＋c)． (2)＝＝＝a＋b＋c. 答案：(1)(a＋b＋c)　(2)a＋b＋c 9．如图所示，已知ABCD-A1B1C1D1是平行六面体． (1)化简＋＋； (2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点，设＝α＋β＋γ，试求α，β，γ的值． 解：(1)∵ABCD-A1B1C1D1是平行六面体，∴＋＋＝＋＋＝. (2)∵＝＋＝＋＝(－)＋(＋)＝＋＋，又＝α＋β＋γ，∴α＝，β＝，γ＝. 10．已知{e1，e2，e3}为空间的一组基底，且＝2e1－e2＋3e3，＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3. (1)能否以{，，}作为空间的一组基底？若能，试用这一基底表示，若不能，请说明理由． (2)判断P，A，B，C四点是否共面． 解：(1)假设，，共面，则存在实数m，n，使＝m＋n，即e1＋2e2－e3＝m(－3e1＋e2＋2e3)＋n(e1＋e2－e3)，所以方程组无解，所以，，不共面，因此{，，}可以作为空间的一组基底．令＝a，＝b，＝c，由得所以＝2e1－e2＋3e3＝2(3a－b－5c)－(a－c)＋3(4a－b－7c)＝17a－5b－30c＝17－5－30. (2)假设P，A，B，C四点共面，则存在实数x，y，z，使＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1.由(1)知＝17－5－30，但17－5－30＝－18≠1，故P，A，B，C四点不共面． (二)综合应用 1.如图所示，已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC内一定点，O为平面ABC外任一点，则下列能表示向量的为(　 ) A.＋2＋2 B.－3－2 C.＋3－2 D.＋2－3 解析：选C　因为A，B，C，P四点共面，所以可设＝x＋y，即＝＋x＋y，由图可知x＝3，y＝－2，故选C. 2.(多选)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c，若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，则下列说法正确的是(　 ) A.＝a＋b＋c