检测评价9 二面角（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

9 / 9 “四翼”检测评价（九）二面角 (一)基础落实 1．已知二面角α-l-β中，平面α的一个法向量为n1＝，平面β的一个法向量为n2＝，则二面角α-l-β的大小为(　 ) A．120°　　　　　　　 B．150° C．30°或150° D．60°或120° 解析：选C　设所求二面角的大小为θ，则|cos θ|＝＝，所以θ＝30°或150°. 2.如图，在正四棱锥P-ABCD中，若△PAC的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为∶8，则侧面与底面所成的二面角为(　 ) A.　　B.　　C.　　D. 解析：选D　设正四棱锥的底面边长为a，侧面与底面所成的二面角为θ，高为h，斜高为h′，则＝，∴＝，∴sin θ＝，即θ＝. 3．把正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，点E，F分别是AD，BC的中点，O是正方形ABCD的中心，则折起后，∠EOF的大小为(　 ) A．60°　　　　　　 B．90° C．120° D．150° 解析：选C　如图，建立空间直角坐标系，设正方形边长为2. 则F，E， ∴＝， ＝，∴cos∠EOF＝cos〈，〉 ＝＝－，∴∠EOF＝120°. 4．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，若P点在正方体的内部，且满足＝＋＋，则平面PAB与平面ABCD所成角的余弦值为(　 ) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：选B　过点P作PN⊥AB交AB于N，作PM⊥平面ABCD，垂足为M.由三垂线定理可知AB⊥MN，所以∠PNM为所求二面角的平面角．因为＝＋＋＝＋＋，所以PM＝，MN＝，故PN＝，所以cos∠PNM＝＝. 5.如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3，点E在棱PA上，且PE＝2EA，则平面ABE与平面BED所成角的余弦值为(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　以B为坐标原点，BC，BA，BP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，A(0,3,0)，P(0，0,3)，D(3,3,0)，E(0，2,1)， ∴＝(0,2,1)，＝(3,3,0)． 设平面BED的法向量为n＝(x，y，z)， 则 取z＝1，则y＝－，x＝，∴n＝. 易知平面ABE的一个法向量为m＝(1,0,0)， ∴cos〈n，m〉＝＝. ∴平面ABE与平面BED所成角的余弦值为.故选B. 6．若二面角内一点到两个面的距离分别为5和8，两垂足间的距离为7，则这个二面角的大小是________． 解析：设二面角大小为θ，由题意可知|cos θ|＝＝＝， 所以θ＝60°或120°. 答案：60°或120° 7．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A1-BD-C1的余弦值是________． 解析：如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则D(0,0,0)，B(1,1,0)，A1(1,0,1)，＝(1,0,1)，＝(1,1,0)． 设n＝(x，y，z)是平面A1BD的一个法向量， 则即令x＝1，则y＝－1，z＝－1，∴n＝(1，－1，－1)． 同理，求得平面BC1D的一个法向量m＝(1，－1,1)， 则cos〈m，n〉＝＝. 由图知二面角A1-BD-C1为锐角， 所以二面角A1-BD-C1的余弦值为. 答案： 8．若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，则二面角P-BC-A的大小为________． 解析：取BC的中点O，连接PO，AO(图略)，则∠POA就是二面角P-BC-A的平面角．又PO＝AO＝，PA＝，所以∠POA＝90°. 答案：90° 9.如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE与平面ABCD所成角为60°.求平面BEF与平面BDE所成角的余弦值． 解：因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系，如图所示． 因为BE与平面ABCD所成角为60°，即∠DBE＝60°，所以＝. 由AD＝3可知DE＝3，AF＝， 则A(3,0,0)，F(3,0，)，E(0，0,3)，B(3,3,0)，C(0,3,0)． 所以＝(0，－3，)，＝(3,0，－2)． 设平面BEF的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令z＝，则n＝(4,2，)．由题意知AC⊥平面BDE， 所以＝(3，－3,0)为平面BDE的法向量． 所以cos〈n，〉＝＝＝. 故由题意知平面BEF与平面BDE所成角的余弦值为. 10.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点． (1)设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小； (2)当AB＝3，AD＝2时，求二