检测评价8 直线与平面的夹角（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

9 / 9 “四翼”检测评价（八）直线与平面的夹角 (一)基础落实 1．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，则直线l与平面α所成的角为(　 ) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：选A　由cos〈m，n〉＝－，得〈m，n〉＝120°， ∴直线l与平面α所成的角为|90°－120°|＝30°. 2．PA，PB，PC是由点P出发的三条射线，两两夹角为60°，则PC与平面PAB所成角的余弦值为(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　设PC与平面PAB所成的角为θ，则cos 60°＝cos θcos 30°，得cos θ＝. 3．已知E，F分别是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，AD的中点，则直线EF与平面BDD1B1所成的角的正弦值为(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　建立如图所示的空间直角坐标系，则点D1(0,0,0)，F(1,0,2)，E(2,2,1)，A1(2,0,0)，C1(0,2,0)，则＝(－1，－2,1)．显然＝(－2,2,0)为平面BDD1B1的一个法向量，设EF与平面BDD1B1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈，〉|＝＝. 4．(多选)若直线l与平面α所成角为，直线a在平面α内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角可能是(　 ) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：选ABD　设a与l所成的角为θ， 由公式cos θ＝cos θ1cos θ2， 其中θ1＝，θ2∈，得0≤cos θ≤， 所以≤θ≤. 5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是D1C1，AB的中点，则A1B1与截面A1ECF所成的角的正切值为(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　设棱长为2，建立以A1为原点，A1B1，A1D1，A1A为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，如图所示，则A1(0,0,0)，E(1,2，0)，F(1,0，2)，＝(1,2,0)，＝(1,0,2)．设平面A1ECF的一个法向量n＝(x，y，z)， 则即 令x＝－2，得y＝1，z＝1， 所以平面A1ECF的一个法向量为n＝(－2,1,1)．又A1B1的方向向量为(2,0,0)，设A1B1与截面A1ECF所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝，cos θ＝，所以tan θ＝. 6．若直线l的一个方向向量a＝(－2,3,1)，平面α的一个法向量n＝(4,0,1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为________． 解析：由题意，得直线l与平面α所成角的正弦值为＝＝. 答案： 7．已知三棱锥S-ABC中，底面为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为________． 解析：建立如图所示的空间直角坐标系， 则S(0,0,3)，A(0,0,0)，B(，1,0)， C(0,2,0)． ∴＝(，1,0)，＝(，1，－3)， ＝(0,2，－3)． 设平面SBC的法向量为n＝(x，y，z)， 则令y＝3，则z＝2，x＝， ∴n＝(，3,2)． 设AB与平面SBC所成的角为θ， 则sin θ＝＝＝. 答案： 8.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是面A1B1C1D1的中心，则BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为________． 解析：建立空间直角坐标系如图， 则B(1,1,0)，O， 1＝(1,0,1)是平面ABC1D1的一个法向量． 又＝， ∴BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为 ＝＝. 答案： 9.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD＝2，AD＝3. (1)设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面PAD； (2)求证：PA⊥平面PCD； (3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值． 解：(1)证明：连接BD，易知AC∩BD＝H，BH＝DH. 又由BG＝PG，故GH∥PD. 又因为GH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，所以GH∥平面PAD. (2)证明：取棱PC的中点N，连接DN. 依题意，得DN⊥PC. 又因为平面PAC⊥平面PCD， 平面PAC∩平面PCD＝PC， 所以DN⊥平面PAC. 又PA⊂平面PAC，所以DN⊥PA. 又已知PA⊥CD，CD∩DN＝D， 所以PA⊥平面PCD. (3)连接AN，由(2)中DN⊥平面PAC，可知∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角． 因为△PCD为等边三角形，CD＝2且N为PC的中点，所以DN＝.又DN⊥AN，在Rt△AND中，sin∠DAN＝＝.所以直线AD与平面PAC所成角的正弦值为. 10.如图，正方形ACDE所在的平面