检测评价6 空间中的点、直线与空间向量（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

7 / 7 “四翼”检测评价（六）空间中的点、直线与空间向量 (一)基础落实 1．(多选)若A(1,0，－1)，B(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　 ) A．(2,2,6) B．(1,1,3) C．(3,1,1) D．(－3,0,1) 解析：选AB　＝(2,1,2)－(1,0，－1)＝(1,1,3)，结合选项可知选A、B. 2．直线l1的方向向量为v1＝(1,2,3)，直线l2的方向向量为v2＝(λ，4,6)，若l1∥l2，则λ＝(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B　∵l1∥l2，∴v1∥v2，则＝， ∴λ＝2. 3．已知直线l1的一个方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的一个方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且l1⊥l2，则x＋y的值是(　 ) A．－3或1 B．3或－1 C．－3 D．1 解析：选A　∵|a|＝＝6，∴x＝±4. 又l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝2×2＋4y＋2x＝0， ∴y＝－1－x. 当x＝4时，y＝－3；当x＝－4时，y＝1， ∴x＋y＝－3或1. 4．已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a＝(2，m,1)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，则实数m的值是(　 ) A．3 B．－3 C．2 D．－2 解析：选B　＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)． 因为l∥平面ABC，所以存在实数λ，μ，使a＝λ＋μ， 即(2，m,1)＝λ(1,0，－1)＋μ(0,1，－1)． 所以λ＝2，m＝μ，－λ－μ＝1，解得m＝－3. 5.在如图空间直角坐标系中，直三棱柱ABC -A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　不妨令CB＝1，则CA＝CC1＝2，可得O(0，0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，∴＝(0,2，－1)，＝(－2,2,1)，∴cos 〈，〉＝＝＝＝＞0，∴与的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，其余弦值为. 6．若直线l1与l2不重合，直线l1的方向向量v1＝(－1,1,2)，直线l2的方向向量v2＝(2,0,1)，则直线l1与l2的位置关系是________． 解析：因为v1·v2＝(－1,1,2)·(2,0,1)＝－2＋2＝0，所以v1⊥v2.所以两直线垂直． 答案：垂直 7．若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2,0,4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于________． 解析：∵|a|＝，|b|＝2，a·b＝(0，－2，－1)·(2,0,4)＝－4， ∴cos〈a，b〉＝＝－. ∵异面直线夹角的范围是， ∴异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于. 答案： 8．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，CC1的中点，则异面直线EF与A1C1所成角的大小是________． 解析：以A为坐标原点，以AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设B(2,0,0)，则E(1,0,0)，F(2,2,1)，C1(2,2,2)，A1(0,0,2)． 所以＝(1,2,1)，＝(2,2,0)． 所以cos〈，〉＝＝，所以〈，〉＝30°，即异面直线EF与A1C1所成的角为30°. 答案：30° 9.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为DD1的中点，M为四边形ABCD的中心．利用向量法证明：对A1B1上任一点N，都有MN⊥AP. 证明：以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正 方体的棱长为1，则A(1,0,0)，P，M. 设N(1，y,1)(0≤y≤1)， 则＝， ＝， ∴·＝－1×＋0×＋×1＝0， ∴⊥，即对A1B1上任一点N，都有MN⊥AP. 10.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1和BB1的中点，求直线AM与CN所成角的余弦值． 解：法一：∵＝＋，＝＋， ∴·＝(＋)·(＋) ＝·＝. 而||＝ ＝ ＝ ＝. 同理，||＝，设直线AM与CN所成的角为α， 则cos α＝＝＝. 即AM与CN所成角的余弦值为. 法二：如图，建立空间直角坐标系，把D点视作原点O，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴正方向． 则A(1,0,0)，M， C(0,1,0)，N， ∴＝－(1,0,0)＝， ＝－(0,1,0)＝. 故·＝0×1＋×0＋1×＝， ||＝ ＝， ||＝ ＝. 设直线AM与CN所成的角为α， ∴cos α＝＝＝. 即AM与CN所成角的余弦值为. (二)综合应用 1．(多选)如图所示，在正方体ABCD-A1