1.2.3 直线与平面的夹角（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教B版2019）

开始 考查内容1 落实必备知识 01 02 03 目 录 考查内容2 强化关键能力 考查内容3·4 浸润学科素养和核心价值 2 1.2.3　直线与平面的夹角 明学习目标 课标 要求 1.理解斜线和平面所成的角的定义． 2.会求直线与平面的夹角． 重点 难点 重点：会求直线与平面的夹角，掌握两种方法(定义法，空间向量法) 难点：理解最小角定理并会应用. 知结构体系     续表 (一)直线与平面的夹角 1．直线与平面的夹角 (1)如果一条直线与一个平面垂直，则称这条直线与这个平面所成的角为90°； (2)如果一条直线与一个平面平行，或直线在平面内，则称这条直线与这个平面所成的角为0°； (3)平面的斜线与它在平面内的______所成的锐角，称为这条斜线与平面所成的角； (4)直线与平面所成角的范围是________________. 射影 0°≤θ≤90° cos θ1cos θ2 1．判断正误 (1)直线与平面的夹角不是锐角就是直角．(　 ) (2)经过平面外同一点所作的平面的多条斜线中，斜线段长、射影长及斜线与平面所成的角，只要有一个相等，则另外两个也对应相等．(　 ) 答案：(1)×　(2)√ 1．判断正误 (1)直线l与平面α的法向量的夹角的余角就是直线l与平面α所成的角．(　 ) (2)当一条直线l与一个平面α的夹角为0°时，这条直线不一定在平面内．(　 ) 答案：(1)×　(2)√ 2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　 ) A．120°　　　　　 B．60° C．30° D．以上均错 答案：C 答案：B [题点一] 定义法求直线与平面的夹角 [典例]　如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°. (1)求证：BC⊥平面PAC； (2)若D为PB的中点，试求AD与平面PAC夹角的正弦值． [解]　(1)证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以PA⊥BC.又∠BCA＝90°，所以AC⊥BC， 又AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，PA∩AC＝A， 所以BC⊥平面PAC. [拓展] 　若本例(2)条件不变，求AD与平面PBC夹角的正弦值，结果如何？ [方法技巧] 用定义法(几何法)求直线和平面所成的角的步骤 (1)作：即作(或找)出直线和平面所成的角； (2)证：即证明所作的角为直线与平面所成的角； (3)算：即解三角形求出直线与平面所成的角．　　 [题点二] 用向量法求直线与平面所成的角 [典例]　如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2. (1)求证：BF∥平面ADE； (2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值． 解：(1)证明：因为AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，DB＝DB，所以△ADB≌△CDB，所以AB＝BC. 因为E为AC的中点，所以AC⊥BE，AC⊥DE， 又BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BED，所以AC⊥平面BED， 又AC⊂平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD. [方法技巧] 斜线与平面所成角的性质的应用策略 (1)“三相等”结论常用于直接证明角或线段的相等，省去了先证明三角形全等的麻烦； (2)“最小角”结论可以用于比较线面角、线线角的大小，也可以求线面角、线线角，灵活应用这个结论，有时会起到事半功倍的效果．　　 同理可得，四边形DCOA为菱形，所以AD∥CO， 所以BD⊥AD. 因为PD⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD， 所以PD⊥BD， 又AD∩PD＝D，AD，PD⊂平面ADP， 所以BD⊥平面ADP. 因为PA⊂平面ADP，所以BD⊥PA. 答案：D 答案：C 答案：B “四翼”检测评价见“四翼检测评价（八）” (单击进入电子文档) 54 谢谢观看 2．最小角定理 (1)线线角、线面角的关系式： 如图，OB是OA在平面α内的射影，OM⊂α，θ是OA与OM所成的角，θ1是OA与OB所成的角，θ2是OB与OM所成的角，则cos θ＝______________. (2)最小角定理： 平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角． 设向量在平面α内的射影为，且直线AB与平面α的夹角为θ，则〈，〉＝θ，||＝||·cos θ. 2．正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为侧面BCC1B1的中心，则AO与平面ABCD所成角的正弦值为________． 解析：如图，取BC中点M，连接AM，OM，易知∠OAM即为AO与平面ABCD所成的角，可求得sin∠OAM＝. 答案： sin〈v，n〉 |cos〈v，n〉| (二)用空间向量求直线与平面的夹角 如果v是