1.3.2 空间向量运算的坐标表示（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1.3.2　空间向量运算的坐标表示 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.掌握空间向量运算的坐标表示． 2.掌握空间向量数量积的坐标表示． 3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式的坐标表示． 重点难点 重点：空间向量运算的坐标表示． 难点：利用向量运算的坐标表示解决立体几何问题. 1．与空间向量运算有关的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 名称 坐标表示 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R) 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) 垂直 a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 向量长度 |a|＝ ＝ 向量夹角公式 cos〈a，b〉＝＝ 2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，O(0,0,0)，＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． 3．空间两点间的距离公式 已知A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则A，B两点间的距离dAB＝＝ . 1．已知a＝(1,2,3)，b＝(3,0，－1)，c＝，给出下列等式：①(a＋b)·c＝a·(b＋c)；②(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2；③(a·b)·c＝a·(b·c)．其中正确的有(　 ) A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 答案：B 2．下列向量中，与向量a＝(0,0,1)平行的向量为(　 ) A．b＝(1,0,0) B．c＝(0,1,0) C．d＝(－1，－1，－1) D．e＝(0,0，－1) 答案：D 3．已知A(1,2，－1)关于Oxy平面的对称点为B，而B关于x轴的对称点为C，则＝(　 ) A．(0,4,2) B．(0,4,0) C．(0，－4，－2) D．(2,0，－2) 答案：C —————————————————————————————————— 空间向量的坐标运算 —————————————————————————————————————— [典例]　已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求a＋b，a－b，a·b，(2a)·(－b)，(a＋b)·(a－b)． [解]　a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)； a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2,0，－6)； a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7； (2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14； (a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8. 空间向量的坐标运算方法 一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标，在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式： (1)(a＋b)2＝a 2＋2a·b＋b 2； (2)(a＋b)·(a－b)＝a 2－b 2.　　 [对点训练] 已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(－1,2,1)，(1,3,4)，(0，－1,4)，(2，－1，－2)．若p＝，q＝，求下列各式的值： (1)p＋2q；(2)3p－q； (3)(p－q)·(p＋q)； (4)cos〈p，q〉． 解：因为A(－1,2,1)，B(1,3,4)，C(0，－1,4)，D(2，－1，－2)， 所以p＝＝(2,1,3)，q＝＝(2,0，－6)． (1)p＋2q＝(2,1,3)＋2(2,0，－6)＝(2,1,3)＋(4,0，－12)＝(6,1，－9)． (2)3p－q＝3(2,1,3)－(2,0，－6)＝(6,3,9)－(2,0，－6)＝(4,3,15)． (3)(p－q)·(p＋q)＝p2－q2＝|p|2－|q|2＝(22＋12＋32)－[22＋02＋(－6)2]＝－26. (4)cos〈p，q〉＝ ＝ ＝＝－. —————————————————————————————————— 利用空间向量坐标运算解决平行与垂直问题 —————————————————————————————————————— [典例]　如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，以D