1.3.1 空间直角坐标系（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1．3.1　空间直角坐标系 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性． 2.会用空间直角坐标系刻画点的坐标，会用坐标表示空间向量． 重点难点 重点：点和向量的坐标表示． 难点：空间直角坐标系理解及运用. 1．空间直角坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴．这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 2．空间点的坐标表示 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 3．空间向量的坐标表示 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 4．几个特殊位置的点的坐标 如图，(1)在x轴上的点的坐标为A(x,0,0)． (2)在y轴上的点的坐标为C(0，y,0)． (3)在z轴上的点的坐标为D′(0,0，z)． (4)在Oxy平面内的点的坐标为B(x，y,0)． (5)在Ozx平面内的点的坐标为A′(x,0，z)． (6)在Oyz平面内的点的坐标为C′(0，y，z)． 5．空间中点的对称点的坐标 P(x，y，z) 关于原点对称 P1(－x，－y，－z) P(x，y，z) 关于x轴对称 P2(x，－y，－z) P(x，y，z) 关于y轴对称 P3(－x，y，－z) P(x，y，z) 关于z轴对称 P4(－x，－y，z) P(x，y，z) 关于平面Oxy对称 P5(x，y，－z) P(x，y，z) 关于平面Ozx对称 P6(x，－y，z) P(x，y，z) 关于平面Oyz对称 P7(－x，y，z) 1．(多选)下列空间直角坐标系中，是右手直角坐标系的是(　 ) 答案：AD 2．如图所示的空间直角坐标系中，单位正方体顶点A的坐标是(　 ) A．(－1，－1，－1) B．(1，－1,1) C．(1，－1，－1) D．(－1,1，－1) 解析：选C　依据空间中点的坐标的定义，点A的坐标是(1，－1，－1)． 3．设z是任意实数，则点P(2,2，z)运动的轨迹是(　 ) A．一个平面 B．一条直线 C．一个圆 D．一个球 解析：选B　点P(2,2，z)运动的轨迹是过点(2,2,0)且与z轴平行的一条直线． —————————————————————————————————— 空间中点的坐标的确定 —————————————————————————————————————— [典例]　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE＝1，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出点E，F的坐标. [解]　(答案不唯一)以A为坐标原点，射线AB，AD，AA1的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Axyz，如图所示．由AB＝1，得AD＝2，AA1＝4，CF＝AB＝1，CE＝AB＝，所以BE＝BC－CE＝2－＝.所以点E的坐标为，点F的坐标为(1,2,1)． [方法技巧] 空间中点P坐标的确定方法 (1)由点P分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点Px，Py，Pz，这三个点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x，y，z，那么点P的坐标就是(x，y，z)． (2)若题目中所求点P在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质；若不在，可利用点P在坐标平面上的投影求坐标．　　 [对点训练] 1．在空间直角坐标系中，已知点P(1,2,3)，过点P作平面Ozx的垂线PQ，垂足为Q，则点Q的坐标为(　 ) A．(0,2,0) B．(0,2,3) C．(1,0,3) D．(1,2,0) 解析：选C　由题意，PQ⊥平面Ozx，Q为垂足，因为在平面Ozx内，所以纵坐标为0，即点Q的坐标为(1,0,3)． 2.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底边长为2，高为4，试建立适