1.3.1 空间直角坐标系（教学课件）数学人教A版2019选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何1.3.1 空间直角坐标系 ·选择性必修第一册· 1 学习目标 2 在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置． 借助空间直角坐标系理解空间中点的坐标和向量的坐标的概念及坐标表示. 01 情景导入 1.3 空间向量及其坐标运算 引入新知 上节课，复兴哥发现了复兴星，并得到该星的位置代码： 新星系位置 复兴哥在研究破解这串位置代码时，联想到平面直角坐标系中，每个位置可以用坐标表示，那么： 复兴星的位置代码是否也可以用一个坐标表示呢？ 02 新课探究 1.3 空间向量及其坐标运算 新课探究 回顾 在平面向量中，我们以平面直角坐标系中与x轴、y轴方向相同的两个单位向量为基底，建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系. 定点 单位 正交基底 原点 正方向 单位长度 数轴 坐标系 平面 直角 坐标系 { 的方向 的长度 轴 轴 新课探究 探究1 类比以上表格，完成以下表格，建立空间直角坐标系. 定点 单位 正交基底 原点 正方向 单位长度 数轴 坐标系 空间直角 坐标系 新课探究 定义 空间直角坐标系 如右图，在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴. 这时我们就建立了一个空间直角坐标系 新课探究 辨析 ①叫做原点，都叫做坐标向量， ②通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面， 共有三个坐标平面分别称为： 平面(黄色)、平面（绿色）、 平面（紫色）， 它们把空间分成八个部分. 思考 如何画空间直角坐标系？ - 新课探究 画空间直角坐标系时，一般使或， 新课探究 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 轴的正方向，食指指向 轴的正方向，如果中指指向 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 新课探究 在平面直角坐标系中,每一个点和向量都可用一对有序实数（即它的坐标）表示.对空间直角坐标系中的每一个点和向量,是否也有类似的表示呢? x y O i j A a 探究2 新课探究 在空间直角坐标系中如何定义 的坐标呢？ x y O i j a A 平面直角坐标系内 空间直角坐标系内 取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 ， 为基底，由平面向量基本定理，有且只有一对实数 ， ，使得 . 我们把有序数对 ， 叫做 的坐标，记作 ， . 取与 轴、 轴、 轴方向相同的单位向量 ， ， 为基底，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 ， ， ，使得 思考 新课探究 定义：在单位正交基底 ， ， 下与向量 对应的有序实数组 ， ， ，叫做点 在空间直角坐标系中的坐标，记作 , , ， 其中 叫做点 的横坐标， 叫做点 的纵坐标， 叫做点 的竖坐标. 新课探究 对于给定的向量 又该如何定义它的坐标呢？ 我们在空间直角坐标系 中可以作 . 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 ， ， ，使 有序实数组 ， ， 叫做 在空间直角坐标系 中的坐标，上式可简记为 ， ， 思考 新课探究 在空间直角坐标系 中，对空间任意一点 ，或任意一个向量 ，你能借助几何直观确定它们的坐标 ， ， 吗？ 过点 分别作垂直于 轴、 轴和 轴的平面 依次交 轴、 轴和 轴于点 ， 和 . 即点 或者向量 的 坐标就是 ， ， . 可以证明 在 轴、 轴、 轴上的投影向量分别为 ， ， . 探究3 牛刀小试 解析 牛刀小试 解析 牛刀小试 解析 牛刀小试 解析 牛刀小试 解析 03 应用新知 1.3 空间向量及其坐标运算 应用新知 例1 应用新知 解析 应用新知 解析 应用新知 反思感悟 1.在空间中根据点的坐标确定点的位置的方法 根据点的坐标确定点的位置,要先确定点(x0,y0)在Oxy平面上的位置,再由竖坐标确定点(x0,y0,z0)在空间直角坐标系中的位置. (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内; (2)充分利用几何图形的特性. 一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影,确定其两个坐标,再找出它在另一坐标轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正号或负号),确定第三个坐标. 2.建立空间直角坐标系时应遵循的原则 3.求点的坐标的方法 应用新知 变式训练 解析 04 重要题型 1.3 空间向量及其坐标运算 重要题型专练 题型一 建适当的空间直角坐标系求点坐标 例题 重要题型专练 题型一 建适当的空间直角坐标系求点坐标 解析 重要题型专练 题型一 建适当的空间直角坐标系求点坐标 解析 重要题型专练 方法总结 用坐标表示空间向量的步骤 重要题型专练 题型一 建适当的空间直角坐标系求点坐标 变式训练 重要题型专练 题型一 建适当的空间直角坐标系求点坐标 解析 求点 重要题型专练 题型一 建适当的空间直角坐标系求点坐标 E 解析 重要题型专练 题型二 空间直角坐标系中的对称性问题 例题 重要题型专练 题型二 空间直角坐标系中的对称性问题 解析 应用新知 方法总结 yOz平面 求对称点的坐标可按以下规律写出：“关于谁对称谁不变，其余的符号均相反．”在空间直角坐标系中，任一点P(a，b，c)的几种特殊的对称点的坐标如下： 对称轴或对称中心 对称点坐标 坐标原点 x轴 y轴 z轴 xOy平面 yOz平面 xOz平面 (a，－b，－c) (－a，b，－c) (－a，－b，c) (a，b，－c) (－a，b，c) (a，－b，c) (－a，－b，－c) P(a，b，c) 重要题型专练 方法总结 重要题型专练 题型二 空间直角坐标系中的对称性问题 变式训练 重要题型专练 题型二 空间直角坐标系中的对称性问题 解析 05 真题感知 1.3 空间向量及其坐标运算 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 06 课堂笔记 1.3 空间向量及其坐标运算 课堂笔记 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 轴的正方向，食指指向 轴的正方向，如果中指指向 轴的正方向，则称这个坐标系为______________________. 课堂笔记 定义：在单位正交基底 ， ， 下与向量 对应的有序实数组 ， ， ，叫做点 在空间直角坐标系中的____，记作 , , ， 其中 叫做点 的______， 叫做点 的______， 叫做点 的______. 课堂笔记 我们在空间直角坐标系 中可以作 . 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 ， ， ，使 有序实数组 ， ， 叫做 在空间直角坐标系 中的坐标，上式可简记为 __________ 07 小结与课后作业 1.3 空间向量及其坐标运算 课堂小结 yOz平面 空间向量及其运算的坐标表示 作业布置 巩固作业：教科书第18页练习第1、2、3、4题 ·选择性必修第一册· 本课结束 感谢您的聆听 练1：设是空间向量的一个单位正交基底，则向量，的坐标分别是 ； . 由是空间向量的一个单位正交基底， 则， 故答案为：，. 练2： 设{，，}是是空间向量的一个单位正交基底，， ，则的坐标是 ． 由是空间向量的一个单位正交基底， 因为， ； 所以 则， 故答案为： 练3： 已知，其中，，，是空间向量的一个单位正交基底，则点A的坐标为（     ） A． B． C． D． 因为，，，， 是空间向量的一个单位正交基底， 所以. 所以点A的坐标为，故选：A 练4： 如图，在长方体中，，，，为棱的中点，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系． （1）求点的坐标； （2）求点的坐标． （1）为坐标原点，则，点在轴的正半轴上，且， 同理可得：， 点在坐标平面内，，，， 同理可得：，， 与的坐标相比，点的坐标中只有坐标不同，，． 综上所述：，，，，，，，. （2）由（1）知：，，则的中点为，即. 练4： 如图，在长方体中，，，，为棱的中点，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系． （1）求点的坐标； （2）求点的坐标． 如图1.3-6，在长方体中，，，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系． （1） 写出，C，，四点的坐标； （2）写出向量，，，的坐标． （1）点在z轴上，且，所以．所以点的坐标是， 同理，点C的坐标是 点在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，O，，它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2， 所以点的坐标是． 点在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，C，， 它们在坐标轴上的坐标分别为3，4，2， 所以点的坐标是． （2）； 1.在长方体中．，，，与相交于点P，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz． （1）写出点C，，P的坐标； （2）写出向量，的坐标． （1）因为，，， 所以 （2）因为， ， 已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标． 以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC，AB所在的直线分别为x轴、y轴，垂直于平面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示 由题意，正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为10， 设与的交点为，则正四棱锥的高为 ， 则正四棱锥各顶点的坐标分别为 . 答案不唯一，建系不同，点的坐标会有不同 在长方体中，，，，建立如图所示的空间直角坐标系， (1)求点，，，的坐标； (2)若为的中点，试求点的坐标． 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 设．过点向三个坐标平面，，作垂线，分别交平面，，于点，，，故，，，由图可知，，均为正数，故点的坐标是， 同理可求得，，. （2）因为是的中点，，， 所以由中点坐标公式得点的坐标为． 1. 在空间直角坐标系中,已知点的坐标为. (1)求点关于轴对称的点的坐标; (2)求点关于平面对称的点的坐标; (3)求点关于点对称的点的坐标. (1)因为点关于轴对称后,它在轴对应的数不变,在轴、轴对应的数变为原来的相反数,所以对称点的坐标为 (2)因为点关于平面对称后,它在轴、轴对应的数不变,在轴对应的数变为原来的相反数,所以对称点的坐标为. (3)设对称点的坐标为,则为线段的中点, 所以 所以点的坐标为 2.在空间直角坐标系中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)，\f(z1＋z2,2))). 设是空间直角坐标系Oxyz中的一点，写出满足下列条件的点的坐标； （1）与点M关于轴对称的点； （2）与点M关于y轴对称的点； （3）与点M关于z轴对称的点； （4）与点M关于原点对称的点． 若是空间直角坐标系Oxyz中的一点，则 （1）与点M关于轴对称的点为 （2）与点M关于y轴对称的点为 （3）与点M关于z轴对称的点为 （4）与点M关于原点对称的点为 1．（24-25高二下·甘肃定西·阶段练习）点在空间直角坐标系中的（     ） A．轴上 B．平面上 C．平面上 D．第一象限内 因为点的竖坐标为0，所以该点在平面上. 故选：B. 2．（21-22高二上·北京·阶段练习）在空间直角坐标系中，，，则 （     ） A． B． C． D． 因为，，所以 所以 故选：A 3．（24-25高二上·上海·期末）在空间直角坐标系中，已知，，则点和点关于（     ） A．轴对称 B．平面对称 C．轴对称 D．平面对称 因为点和的纵坐标相等，其余两个坐标互为相反数， 所以点和点关于轴对称. 故选：C 5．（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）已知点，求： (1)点A在平面、x轴上的投影点的坐标； (2)求点A关于平面、x轴、原点的对称点的坐标. （1）点A在平面、x轴上的投影点的坐标分别为，. （2）点A关于平面、x轴、原点的对称点的坐标分别为： ，，. 在空间选定一点和一个单位正交基底 以点为原点,分别以的方向为正方向、以它们的长为 单位长度建立三条数轴:轴，轴，轴, 它们都叫做__________. 画空间直角坐标系时,一般使(或),. 这时我们就建立了一个_________________，叫做_________， 都叫做____________，通过每两条坐标轴的平面叫做____________, 有三个坐标平面：_____平面（黄色）,_____平面（绿色）,_____平面（紫色）， 它们把空间分成_____个部分（卦象）. $$