1.2 空间向量基本定理（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1．2　空间向量基本定理 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.了解空间向量基本定理及其意义． 2.掌握空间向量的正交分解． 重点难点 重点：空间向量基本定理． 难点：选择恰当的基底表示向量. 1．空间向量基本定理 (1)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝x a＋y b＋z c. (2)基底与基向量：把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 2．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示. (2)正交分解 把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 1．判断正误 (1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一个基底．(　 ) (2)若对向量p可找到三个向量a，b，c，使p＝xa＋yb＋zc，则{a，b，c}可构成空间向量的一个基底．(　 ) (3)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}，使0λ1a1＋λ2a2＋λ3a3.(　 ) (4)若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．若{a，b，c}是空间的一个基底，且向量m＝a＋b，n＝a－b，则可以与m，n构成空间的另一个基底的向量是(　 ) A．a B．b C．c D．2a 答案：C 3．正方体ABCD-A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{，，}为基底，＝x＋y＋z，则x，y，z的值是(　 ) A．1,1,1 B.，， C.，， D．2,2,2 答案：A ————————————————————————————————— 对基底的理解 ————————————————————————————————————— [典例]　(多选)给出下列命题，其中正确的是(　 ) A．已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底 B．A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N共面 C．若＋＋＋＝0，则点P，A，B，C四点共面 D．已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底 [解析]　若a∥b，则a，b与任何向量均共面，故a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，A正确；若，，不能构成空间的一个基底，则，，共面，则A，B，M，N共面，B正确；若＋＋＋＝0，则＝－－－，－1＋(－1)＋(－1)＝－3≠1，故点P，A，B，C四点不共面，C错误；{a，b，c}是空间向量的一个基底，则a，b，c不共面，若m＝a＋c，则a，b，m不共面，故{a，b，m}也是空间的一个基底，D正确．故选A、B、D. [答案]　ABD [方法技巧] 基底的判断思路 (1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，则可以作为一个基底． (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．　　 [对点训练] 1．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}；②{b，c，z}；③{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间的一个基底的向量组有(　 ) A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 解析：选B　①中，a，b，x＝a＋b共面，不可作为空间的一个基底；②中，z＝c＋a与向量b，c不共面，可作为空间的一个基底；③中，x，y与a＋b＋c不共面，故②③正确．故选B. 2．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＋y＝________. 解析：∵m与n共线，设n＝λm(λ∈R)，则xa＋yb＋c＝λa－λb＋λc，即∴x＝1，y＝－1，则x＋y＝0. 答案：0 —————————————————————————————————— 用基底表示空间向量 —————————————————————————————————————— [典例]　如图，在四面体OABC中，M是OA的中点，G是△ABC的重心，试用基向量，，表示向量和. [解]　如图所示，连接AG并延长交BC于点D，则D为BC的中点，且＝(＋)．∵G是△ABC的重心，∴＝＝(＋)．又∵＝－，＝－，∴＝(＋)＝(－2＋＋)．∴＝＋＝＋(－2＋＋)＝＋＋.又∵M是OA的中点，∴＝.∴＝－