1.1.2 空间向量的数量积运算（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1.1.2　空间向量的数量积运算 明学习目标 知结构体系 课标要求 掌握空间向量的数量积运算． 重点难点 重点：掌握空间向量的夹角和数量积的性质． 难点：投影向量的概念及应用向量的数量积解决立体几何问题. (一) 两个空间向量的夹角 定义 如图，已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角 记法 a，b 范围 0≤a，b≤π，当a，b＝时，a⊥b 对两个空间向量夹角的理解 (1)两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π.故a，b＝0或π⇔a∥b(a，b为非零向量)． (2)由于零向量的方向是任意的，因此任意一个向量与零向量的夹角是不确定的，故零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定0与任何向量a都是共线的，即0∥a. (3)①a，b＝b，a＝－a，－b＝－b，－a； ②a，－b＝－a，b＝π－a，b； ③，＝，＝π－，． 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各对向量的夹角为135°的是(　 ) A．，　　B．， C．，　　D．， 答案：B (二)空间向量的数量积 1．空间向量的数量积的定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cosa，b叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosa，b．零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0. 2．投影向量 (1)在空间，向量a向向量b投影： 如图(1)，先将它们平移到同一平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量． (2)向量a在直线l上的投影如图(2)． (3)向量a向平面β投影： 如图(3)，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量． 3．空间向量数量积的运算律 (λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R a·b＝b·a(交换律) (a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律) 4.空间向量数量积的性质 (1) a·e＝|a|cosa，e(其中e为单位向量) (2) 若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0 (3) a·a＝|a|2或|a|＝＝ (4) 若a，b为非零向量，则cosa，b＝ (5) |a·b|≤|a||b|(当且仅当a，b共线时等号成立) 空间向量数量积性质的应用 (1)a⊥b⇔a·b＝0，此结论用于证明空间中的垂直关系． (2)|a|2＝a2，此结论用于求空间中线段的长度． (3)cosa，b＝，此结论用于求有关空间角的问题． (4)|b|cosa，b＝，此结论用于求空间中的距离问题． 1．判断正误 (1)向量与的夹角等于向量与的夹角．(　 ) (2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　 ) (3)对于非零向量a，b，a，b与－a，－b相等．(　 ) (4)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c.(　 ) (5)若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的充要条件．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× 2．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，则a·(b＋c)的值为(　 ) A．1 B．0 C．－1 D．－2 答案：B 3．已知a，b均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于(　 ) A. B. C. D．4 答案：C —————————————————————————————————— 空间向量数量积的计算 —————————————————————————————————————— [典例]　如图，已知正四面体OABC的棱长为1，求： (1)·； (2)(＋)·(＋)． [解]　在正四面体OABC中，||＝||＝||＝1.，＝，＝，＝60°. (1)·＝||||·cos∠AOB ＝1×1×cos 60°＝. (2)(＋)·(＋) ＝(＋)·(－＋－) ＝(＋)·(＋－2) ＝2＋2·－2·＋2－2·＝12＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60° ＝1＋1－1＋1－1＝1. [方法技巧] 在几何体中求空间向量的数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积；(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；(4)代入公式a·b＝|a||b|cosa，b求解． [对点训练] 1.如图，在三棱锥P-ABC中，AP，AB