2.3.3 点到直线的距离公式 2.3.4 两条平行直线间的距离（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2．3.3&2.3.4　点到直线的距离公式　两条平行直线间的距离 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.探索并掌握平面上点到直线的距离公式． 2.会求两条平行直线间的距离． 重点 难点 重点：点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离． 难点：点到直线的距离公式的推导. (一)点到直线的距离公式 定义 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足 公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离d＝ 应用点到直线的距离公式的注意事项 (1)当点在直线上时，点到该直线的距离为0，点到直线的距离公式仍然适用． (2)点到直线的距离公式对于直线方程中A＝0或B＝0时的情况仍然适用．①A＝0时，d＝.②B＝0时，d＝. (3)在应用点到直线的距离公式时，若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式． 1．点(0,5)到直线y＝2x的距离是(　 ) A. B. C. D. 答案：B 2．已知点P(－2,3)，点Q是直线l：3x＋4y＋3＝0上的动点，则|PQ|的最小值为(　 ) A．2 B. C. D. 解析：选B　由题意知|PQ|的最小值为点P到直线l的距离．即|PQ|min＝＝，故选B. 3．若第二象限内的点P(m,1)到直线x＋y＋1＝0的距离为，则m的值为________． 答案：－4 (二)两条平行直线间的距离 定义 两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长 求法 两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离 公式 两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0)间的距离为d＝ 应用两条平行直线间的距离公式要注意以下三点 (1)把直线方程化为一般式方程； (2)两直线方程中x，y的系数对应相等，若不相等，则先将系数化为相等，再代入公式； (3)当两条直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决： ①若两直线都与x轴垂直，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|； ②若两条直线都与y轴垂直，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|. 1．两平行直线x＋y＋2＝0与x＋y－3＝0的距离等于(　 ) A. B. C．5 D. 答案：A 2．已知直线l1：x＋y－1＝0，l2：x＋y＋a＝0，且两直线间的距离为，则a＝________. 解析：由两平行直线间的距离公式得 d＝＝，即|a＋1|＝2，∴a＝－3或a＝1. 答案：－3或1 —————————————————————————————————— 点到直线的距离公式及应用 —————————————————————————————————————— [典例]　已知正方形中心的坐标为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程． [解]　由得正方形的中心的坐标为(－1,0)．设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5)． 由点(－1,0)到两直线l，l1的距离相等， 得 ＝， 解得c＝7或c＝－5(舍去)， ∴l1：x＋3y＋7＝0. 又正方形另两边所在直线均与l垂直， ∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0,3x－y＋b＝0(a≠b)． ∵正方形的中心到四条边所在直线的距离相等， ∴＝＝， 解得a＝9，b＝－3或a＝－3，b＝9， ∴另两边所在直线的方程分别为3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0. ∴正方形其他三边所在直线的方程分别为x＋3y＋7＝0,3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0. [方法技巧]　计算点到直线的距离的步骤 整理 将直线方程化为一般式，即Ax＋By＋C＝0 代入 将点P(x1，y1)的坐标及A，B，C的值代入公式d＝ 计算 得到d的值 [对点训练] 求经过两直线l1：x－3y－4＝0与l2：4x＋3y－6＝0的交点，且与点A(－3,1)的距离为5的直线l的方程． 解：由解得即直线l过点B. ①当l与x轴垂直时，方程为x＝2，点A(－3,1)到l的距离d＝|－3－2|＝5，满足题意． ②当l与x轴不垂直时，设斜率为k， 则l的方程为y＋＝k(x－2)，即kx－y－2k－＝0， 由点A到l的距离为5，得＝5，解得k＝，∴l的方程为x－y－－＝0，即4x－3y－10＝0. 综上，所求直线l的方程为x＝2或4x－3y－10＝0. —————————————————————————————————— 两条平行直线间的距离公式及应用 —————————————————————————————————————— [典例]　(1)求两条平