2.3.2 两点间的距离公式（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2．3.2　两点间的距离公式 明学习目标 知结构体系 课标 要求 探索并掌握平面上两点间的距离公式． 重点 难点 重点：两点间的距离公式． 难点：坐标法求解平面几何问题. 两点间的距离 平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ . 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝. (1)两点间的距离公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P1P2|＝. (2)当直线P1P2垂直于y轴时，|P1P2|＝|x2－x1|. 当直线P1P2垂直于x轴时，|P1P2|＝|y2－y1|. (3)由两点间的距离公式，既可以解决已知点的坐标求距离问题，也可以解决已知距离求点的坐标问题． 1．已知点M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|等于(　 ) A．5 B. C. D．4 解析：选A　|MN|＝＝5.故选A. 2．(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2,3)的距离等于的点的坐标是(　 ) A．(－4,5) B．(－3,4) C．(－1,2) D．(0,1) 解析：选BC　设所求点的坐标为(x0，y0)．有 解得或 即所有点的坐标为(－3,4)，(－1,2)．故选B、C. ————————————————————————————————— 求两点间的距离 ————————————————————————————————————— [典例]　(1)已知点P(a,2)，Q(－2，－3)，M(1,1)，且|PQ|＝|PM|，则a的值是(　 ) A．－2 B．2 C．－ D. (2)已知点A(4,12)，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为____________． [解析]　(1)因为点P(a,2)，Q(－2，－3)，M(1,1)，且|PQ|＝|PM|，所以＝，解得a＝－.故选C. (2)设点P的坐标为(x,0)，由|PA|＝13，得＝13，解得x＝－1或x＝9. 所以点P的坐标为(－1,0)或(9,0)． [答案]　(1)C　(2)(－1,0)或(9,0) 计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．　　 [对点训练] 1．已知点P(－2,5)为平面直角坐标系内一点，线段PM的中点是(1,0)，那么点M到原点O的距离为(　 ) A．41 B. C. D．39 解析：选B　设M(x，y)，由中点坐标公式得＝1，＝0，解得x＝4，y＝－5.所以点M(4，－5)．则|OM|＝＝.故选B. 2．已知点A(1，－4)，B(5，b)，且|AB|＝4，则b＝________. 解析：由平面上两点间的距离公式，得 |AB|＝＝4， 即b2＋8b－128＝0，解得b＝8或b＝－16， 故b的值为8或－16. 答案：8或－16 —————————————————————————————————— 两点间距离公式的应用 —————————————————————————————————————— [典例]　如图，已知△ABC的三个顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状． 　　 [解]　法一：∵|AB|＝＝＝2， |AC|＝＝＝2， 又|BC|＝＝＝2， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， ∴△ABC是等腰直角三角形． 法二：∵kAC＝＝，kAB＝＝－， ∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. 又|AC|＝＝＝2， |AB|＝＝＝2， ∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形． 法三：∵＝(6，－4)，＝(4,6)． ∴·＝6×4－4×6＝0，∴AB⊥AC. 又||＝＝＝2， ||＝＝＝2，∴|AB|＝|AC|. ∴△ABC是等腰直角三角形． [拓展] 本例中条件不变，求BC边上的中线AM的长． 解：设点M的坐标为(x，y)，因为点M为BC的中点，所以x＝＝2，y＝＝2，即点M的坐标为(2,2)．由两点间的距离公式得|AM|＝＝，所以BC边上的中线AM的长为. [方法技巧] 平面上两点间的距离公式的应用类型 (1)已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间的距离公式建立关于所求点坐标的函数、方程或方程组求解． (2)利用两点间的距离公式可以判断三角形的形状．从三边长入手，如果边长相等，则可能是等腰或等边三角形，如果满足勾股定理，则是直角三角形．　　 [对点训练] 1．已知M(1,0)，N(－1,0)，点P为直线2x－y－1＝0上的动点，则|PM|2＋|PN|2的最小值为________． 解析：设点P的